mathematica.gr

Δίνεται ευθεία (ε) και σημείο Α εκτός αυτής. Θεωρούμε γωνία xΑy σταθερού μέτρου περιστρεφόμενη περί το Α και που οι πλευρές της στην τυχούσα θέση τέμνουν την (ε) στα σημεία Β, Γ. Να βρεθεί, κατασκευαστικά,
1) H θέση που το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ θα ισούται με δοθέν ευθύγραμμο τμήμα.
2) H θέση που το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ είναι ελάχιστο.
3) Η θέση που το γινόμενο (ΑΒ)(ΒΓ), να είναι δοθέν

S.E.Louridas

Ανάλυση: Το σημείο απέχει σταθερή απόσταση (ως σταθερό) από την ευθεία , άρα βρίσκεται σε σταθερή ευθεία , παράλληλη της σε απόσταση απ‘ αυτήν. Το σημείο «βλέπει» το τμήμα , μήκους , με σταθερή γωνία , άρα βρίσκεται σε κύκλο που δέχεται χορδή ίση με και εγγεγραμμένη αντίστοιχη γωνία ίση με .

Σύνθεση: Επί της τοποθετούμε τμήμα ίσο με , φέρουμε τμήμα κύκλου τα σημεία του οποίου να «βλέπουν» το υπό γωνία , φέρουμε ευθεία παράλληλη της σε απόσταση ίση με . Αν η τέμνει τον προηγούμενο κύκλο στα σημεία κάνουμε παράλληλη μεταφορά των τριγώνων , ώστε να συμπέσουν τα με το ή το με το . Οι προκύπτουσες κατασκευές είναι οι ζητούμενες.
Αν η δεν τέμνει τον κύκλο δεν υπάρχει λύση, αν εφάπτεται έχουμε μια λύση.

Για το ερωτήμα 2) αρκεί να κατασκευάσουμε ισοσκελές τρίγωνο με κορυφή το σημείο με και την επί της ενώ το ερώτημα 3) συμπίπτει με το 1) .. (βέβαια αυτά θέλουν αιτιολόγηση .. αλλά είναι απλή θαρρώ, μέσω των τύπων του εμβαδού τριγώνου).