mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 27, 2011 11:55 am**

Επί των πλευρών AB, BC

ορθογωνίου ABCD

με

, παίρνω σημεία S , T

,

ώστε $\displaystyle AS=\frac{5}{6}AB , BT=\frac{2}{3}BC$ .

Η κάθετος από το

προς την

, τέμνει τις AT, DC

στα σημεία H , P

αντίστοιχα .

Δείξτε ότι (PCTH)=(SBTH)

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 27, 2011 4:34 pm**

Μια απόπειρα. Έστω BC=x

, τότε $\displaystyle AB=2x, AS=\frac{5x}{3}, SB=\frac{x}{3}, BT=\frac{2x}{3}, CT=\frac{x}{3}.$
Από την ομοιότητα των $\triangle AHS, \triangle ATB$ (είναι ορθογώνια και μοιράζονται μια οξεία γωνία) προκύπτει: $\displaystyle \frac{SH}{BT}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AH=3SH.$
Εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle AHS$ θα βρούμε ότι $\displaystyle SH=\frac{x}{3}\sqrt{\frac{5}{2}}, AH=x\sqrt{\frac{5}{2}}.$ Με τον ίδιο τρόπο θα βρούμε από το ορθογώνιο $\triangle ATB$ ότι $\displaystyle AT=\frac{2x}{3}\sqrt{10}.$

Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι TH=AT-AH=SH.

Φέρνουμε $PK\perp AB.$ Από την ομοιότητα των $\triangle PKS, \triangle AHS$ προκύπτει $\displaystyle \frac{KS}{SH}=\frac{PK}{AH}\Rightarrow KS=\frac{x}{3}\Rightarrow PC=KB=\frac{2x}{3}.$

Πλέον τα τρίγωνα $\triangle SBT, \triangle TPC$ είναι ίσα (ορθογώνια με τις κάθετες πλευρές ίσες), άρα $\displaystyle \angle STB=\angle TPC.$ Αλλά $\displaystyle \angle HTB=\angle HPC$ αφού το HPCT

είναι εγγράψιμο.
Άρα $\angle HTS=\angle HPT=\angle HST= 45^{0}\Rightarrow SH=HT=HP.$

Τα εγγράψιμα PCTH, SBTH

είναι ίσα ή συγκρίνουμε τα 2 ζεύγη τριγώνων από τα οποία αποτελούνται. Σαν ίσα θα είναι και ισεμβαδικά.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 27, 2011 7:46 pm**

Καλησπέρα

Φέρω $PK \bot AB$ , το ευθύγραμμο τμήμα

και τη διαγώνιο

. Από υπόθεση ισχύει: $SB = \displaystyle\frac{{AB}}{6} = \displaystyle\frac{{BC}}{3} = CT$ .

Απ’ την ομοιότητα των τριγώνων $STB,\,ABC$ (2 πλευρές ανάλογες και οι περιεχόμενες γωνίες ίσες) έχουμε ότι $B\widehat ST = A\widehat CT$ , οπότε το τετράπλευρο ACTS

είναι εγγράψιμο, άρα $S\widehat CB = S\widehat CT = S\widehat AT$ . Αλλά $S\widehat AT = K\widehat PS$ (οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες).

Τα ορθογώνια τρίγωνα $KPS,\,BCS$ είναι ίσα $\left( {K\widehat PS = S\widehat CB\,\& \,PK = CB} \right)$ , οπότε KS = SB

. Επομένως $PC = KB = 2SB = \displaystyle\frac{{2BC}}{3} = BT$ . Τα ορθογώνια τρίγωνα $PCT,\,TBS$ είναι ίσα (κάθετες πλευρές ίσες), επομένως PT = ST

και τα ορθογώνια τρίγωνα $TPH,\,TSH$ είναι ίσα (μια κάθετη κοινή και οι υποτείνουσες ίσες).

Ίσα τρίγωνα έχουν ίσα εμβαδά, οπότε με μια πρόσθεση προκύπτει το ζητούμενο.

mathematica.gr

Ανόμοια , αλλά ίσα

Ανόμοια , αλλά ίσα

Re: Ανόμοια , αλλά ίσα

Re: Ανόμοια , αλλά ίσα