mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιουν 11, 2011 3:55 pm**

Αν $\alpha+\beta-\gamma=\pi$ και $sin^2\alpha+sin^2\beta-sin^2\gamma=\lambda sin\alpha\; sin\beta\; cos\gamma$ . τότε να υπολογίσετε το $\lambda=$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιουν 11, 2011 4:26 pm**

$\displaystyle{ \alpha + \beta - \gamma = \pi \Leftrightarrow \alpha + \beta = \pi + \gamma \Rightarrow \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \left( {\pi + \gamma } \right) \Rightarrow \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos \gamma \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \cos \alpha \cos \beta = \sin \alpha \sin \beta + \cos \gamma \Rightarrow \left( {\cos \alpha \cos \beta } \right){}^2 = \left( {\sin \alpha \sin \beta + \cos \gamma } \right) \Rightarrow }$ $\displaystyle{ \cos ^2 \alpha \cos ^2 \beta = \sin ^2 \alpha \sin ^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos ^2 \gamma \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \left( {1 - \sin ^2 \alpha } \right)\left( {1 - \sin ^2 \beta } \right) = \sin ^2 \alpha \sin ^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma + 1 - \sin ^2 \gamma \Rightarrow }$ $\displaystyle{ 1 - \sin ^2 \beta - \sin ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha \sin ^2 \beta = \sin ^2 \alpha \sin ^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma + 1 - \sin ^2 \gamma \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \boxed{\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta - \sin ^2 \gamma = 2\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma }:\left( 1 \right) }$

Από το δεδομένο του προβλήματος και τη σχέση $\displaystyle{ \left( 1 \right) }$ προκύπτει ότι: $\displaystyle{ \lambda \cdot \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma = 2\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma \Leftrightarrow \left( {\lambda - 2} \right)\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \boxed{\lambda \in R},\nu \;\;\alpha = 0\; \vee \;\beta = 0\; \vee \;\gamma = \frac{\pi } {2} \hfill \\ \boxed{\lambda = 2},\nu \;\;\alpha \;\beta \ne 0\; \wedge \;\gamma \ne \frac{\pi } {2} \hfill \\ \end{gathered} \right. }$
Στάθης

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιουν 18, 2011 12:49 pm**

Για τυπικούς και μόνο λόγους ας γίνει με $cos(\pi +\gamma)=-cos\gamma$ και $(sinasinb-cos\gamma)^2$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιουν 18, 2011 2:16 pm**

Μια λύση από τα παλιά
$a+b+c=\pi\Rightarrow cos(a+b+c)=-1\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow cosacosbcosc+cosasinbsinc+cosbsinasinc-sinasinbcosc=-1\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow cosacosbcosc+sinc(cosasinb+sinacosb)+1=sinasinbcosc\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow cosacosbcos(\pi-(a+b))+sincsin(a+b)+1=sinasinbcosc\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow -cosacosbcos(a+b)-sin^2c+1=sinasinbcosc\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow cosacosb(sinasinb-cosacosb)+1-sin^2c=sinasinbcosc\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow sinasnbcosacosb-cos^2acos^2b+1-sin^2c=sinasinbcosc\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow sinasinbcosacosb-(1-sin^2a)(1-sin^2b)+1-sin^c=sinasinbcosc\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow sinasincosacosb-1+sin^2b+sin^2a-sin^2asin^2b+-sin^2c=sinasinbcosc\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow sin^2a+sin^2b-sin^2c+sinasinb(cosacosb-sinsinb)=sinasinbcosc\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow sin^2a+sin^2b-sin^2c+sinasinbcos(a+b)=sinasinbcosc\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow sin^2a+sin^2b-sin^2c-sinasinbcosc=sinasinbcosc\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow sin^2a+sin^2b-sin^2c=2sinasinbcosc$
Η συνέχεια όπως ανωτέρω.(Κος ΚΟΥΤΡΑΣ)

Να βλέπαμε λίγο και τους μιγαδικούς z=cosa+isina, w=cosb+isinb, t=cosc+isinc

z=cosa+isina, w=cosb+isinb, t=cosc+isinc

και το πηλίκο $\frac{zw}{t}$
Πως μπαίνουν δείκτες;;;;;;;;;;;;;;;;;
Αθάνατο ΜΑΤΗ ΤΥΡΕ...

mathematica.gr

υπολογισμός του λάμδα

υπολογισμός του λάμδα

Re: υπολογισμό των λάμδα

Re: υπολογισμός του λάμδα

Re: υπολογισμός του λάμδα(ΜΙΑ ΦΟΡΑ ΚΑΙ ΕΝΑΝ ΚΑΙΡΟ)