mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 13, 2011 10:50 am**

Μία άσκηση προτεινόμενη από το φίλο Σπύρο( $\displaystyle{ \sqrt {\Sigma \pi \upsilon \rho o\varsigma } ^2 }$ )

Αν $\displaystyle{ a,b,c \in R }$ με $\displaystyle{ a + b + c = 0 }$
τότε να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{ \frac{{a^7 + b^7 + c^7 }}{7} = \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{2}\frac{{a^5 + b^5 + c^5 }}{5} }$

Έχει ενδιαφέρον η μεθοδολογία που ακολουθείται για να λυθεί.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 13, 2011 11:32 am**

chris_gatos έγραψε:Μία άσκηση προτεινόμενη από το φίλο Σπύρο( $\displaystyle{ \sqrt {\Sigma \pi \upsilon \rho o\varsigma } ^2 }$ )

Αν $\displaystyle{ a,b,c \in R }$ με $\displaystyle{ a + b + c = 0 }$
τότε να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{ \frac{{a^7 + b^7 + c^7 }}{7} = \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{2}\frac{{a^5 + b^5 + c^5 }}{5} }$

Έχει ενδιαφέρον η μεθοδολογία που ακολουθείται για να λυθεί.

Ένας τρόπος είναι ο ακόλουθος. Αργότερα, αν βρω χρόνο, θα γράψω έναν άλλον πάρα πολύ ωραίο τρόπο, ο οποίος έχει το πλεονέκτημα να ανακαλύπτεις ανάλογες ταυτότητες.

Από Vieta, τα a, b, c είναι ρίζες εξίσωσης της μορφής x^3+Ax+B=0

(*).

Άρα $\sum a^2 = a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)= 0-2A$ .

Από (*) έχουμε

x^5= x^3x^2=-(Ax+B)x^2 = -Ax^3-Bx^2 =

που για

διαδοχικά και πρόσθεση κατά μέλη δίνει

$\sum a^5= = -B\sum a^2+A^2\sum a+3AB =-B(-2A)+0+3AB=5AB$

Όμοια βρίσκουμε το $\sum a^7$ μέσω του

x^7 = x^3x^4=(-Ax-B)x^4 = -Ax^5 -Bx^4 = -Ax^5-B(-Ax-B)x =

, από όπου, με χρήση των παραπάνω, $\sum a^7= -7A^2B$

Τώρα, αντικαθιστούμε τις παραστάσεις που βρήκαμε και ελέγχουμε (απλό) ότι ισχύει.

Φιλικά,

Μιχάλης

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 13, 2011 11:56 am**

Η μέθοδος που υποσχέθηκα, είναι όμως εκτός ύλης σχολείου.

Γράφουμε P= ab+bc+ca, Q=abc

(ουσιαστικά αυτό κάναμε και στην προηγούμενη μέθοδο). Επίσης, χάριν οικονομίας, θα γράφουμε s_k=a^k+b^k+c^k

. Στόχος μας να δείξουμε $\displaystyle{\frac {s^7}{7}=\frac {s^2}{2}\cdot \frac {s^5}{5}$ με υπόθεση ότι s_1=0

.

Τώρα, εξετάζουμε την σειρά Taylor του $\ln(1+ax) + \ln(1+bx)+ \ln(1+cx)$ .

Από την μια είναι άμεσο ότι ισούται, αφού μαζέψουμε κοινούς όρους,

$\displaystyle{s_1x-\frac {s_2}{2}x^2-\frac{s_3}{3}x^3+...$

Από την άλλη

$\displaystyle{\ln(1+ax) + \ln(1+bx)+ \ln(1+cx) = \ln \left[(1+ax)(1+bx)(1+cx) \right] =$

$\displaystyle{= \ln (1+ s_1x+Px^2+Qx^3) = \ln (1 + x^2(P+Qx))=$

$\displaystyle{= x^2(P+Qx)-\frac {(x^2(P+Qx))^2}{2}-\frac{(x^2(P+Qx))^3}{3}+... = ...$

Συγκρίνοντας τώρα συντελεστές στα δύο αναπτύγματα, βρίσκουμε τα s_k

συναρτήσει των P,Q

και όλα τώρα είναι απλά. Π.χ. η παραπάνω αποδεικτέα γίνεται τετριμμένη ταυτότητα ως προς P,Q

.

Με την μέθοδο αυτή ανακαλύπτουμε όσες ανάλογες ταυτότητες θέλουμε διότι: Λύνουμε ως προς P,Q

οποεσδήποτε δύο παραστάσεις βρήκαμε. Τις θέτουμε στην θέση των P,Q

σε οποιαδήποτε άλλη και .... μαγικά έχουμε νέα ταυτότητα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 13, 2011 12:59 pm**

Μετά από την λεπτομερέστατη ανάλυση του Μιχάλη Λάμπρου,τον οποίο κι ευχαριστώ πολύ,να συμπληρώσω απλά
πως ή άσκηση ήταν από το παλιό σχολικό(!) βιβλίο του Ηλία Ντζιώρα για την Ε'τάξη του Γυμνασίου.
Καλημέρα σας.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 13, 2011 1:47 pm**

chris_gatos έγραψε:Μετά από την λεπτομερέστατη ανάλυση του Μιχάλη Λάμπρου,τον οποίο κι ευχαριστώ πολύ,να συμπληρώσω απλά
πως ή άσκηση ήταν από το παλιό σχολικό(!) βιβλίο του Ηλία Ντζιώρα για την Ε'τάξη του Γυμνασίου.
Καλημέρα σας.

Άκουσα για κάποιον καθηγητή που δείχνει περήφανος το συγκεκριμένο βιβλίο λέγοντας "εμένα ότι και να μου πείτε [υπουργείο, σχολικοί σύμβουλοι, κλπ] εγώ μόνο σ' αυτό(ν) πιστεύω"!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 13, 2011 2:04 pm**

gbaloglou έγραψε: Άκουσα για κάποιον καθηγητή που δείχνει περήφανος το συγκεκριμένο βιβλίο λέγοντας "εμένα ότι και να μου πείτε [υπουργείο, σχολικοί σύμβουλοι, κλπ] εγώ μόνο σ' αυτό(ν) πιστεύω"!

Nα πω δειλά-δειλά πως ...είχε το δίκιο του αυτός ο άνθρωπος;Εγω το ψάχνω από εδώ,το ψάχνω από εκεί(όταν δεν είμαι στη
Χάλκη),αλλά δεν έχει τύχει να συναντηθούμε.Δε βαριέσαι,ισχύει τουλάχιστον ο νόμος των μεγάλων αριθμών και παρηγοριέμαι.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 16, 2011 4:45 pm**

Μια απορία. Γιατί ab + bc+ca = A

?

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 16, 2011 5:27 pm**

angvl έγραψε:Μια απορία. Γιατί ?

Γενικά αν έχεις ένα ακέραιο πολυώνυμο ${\alpha _\nu }{\chi ^\nu } + {\alpha _{\nu - 1}}{\chi ^{\nu - 1}} + \ldots + {\alpha _1}\chi + {\alpha _0}{\rm{ }}({\alpha _\nu } \ne 0)$
με ρίζες ${\rho _1},{\rho _2}, \ldots ,{\rho _{\nu - 1}},{\rho _\nu }$
ισχύουν οι σχέσεις :
$\begin{array}{l} {S_1} = {\rho _1} + {\rho _2} + {\rho _3} + \ldots + {\rho _{\nu - 1}} + {\rho _\nu } = - \frac{{{\alpha _{\nu - 1}}}}{{{\alpha _\nu }}} \\ {S_2} = {\rho _1}{\rho _2} + {\rho _1}{\rho _3} + \ldots + {\rho _1}{\rho _\nu } + {\rho _2}{\rho _3} + \ldots + {\rho _2}{\rho _\nu } + \ldots + {\rho _{\nu - 1}}{\rho _\nu } = + \frac{{{\alpha _{\nu - 2}}}}{{{\alpha _\nu }}} \\ {S_3} = {\rho _1}{\rho _2}{\rho _3} + {\rho _1}{\rho _2}{\rho _4} + \ldots + {\rho _1}{\rho _2}{\rho _\nu } + \ldots + {\rho _{\nu - 2}}{\rho _{\nu - 1}}{\rho _\nu } = - \frac{{{\alpha _{\nu - 3}}}}{{{\alpha _\nu }}} \\ \vdots \\ \vdots \\ {S_\nu } = {\rho _1}{\rho _2}{\rho _3} \cdots {\rho _{\nu - 1}}{\rho _\nu } = {\left( { - 1} \right)^\nu }\frac{{{\alpha _0}}}{{{\alpha _\nu }}} \\ \end{array}$

Οι σχέσεις αυτές μεταξύ των ριζών και των συντελεστών ενός πολυωνύμου είναι γνωστές ως σχέσεις του Vieta.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 02, 2011 11:42 pm**

Ξεφυλλίζοντας το
''Putnam and Beyond'' των Titu Andreescu-Razvan Gelca μόλις ανακάλυψα πως στη σελίδα 48 υπάρχει λυμένη αυτή η άσκηση.
Μέχρι κι ο Titu από του Ντζιώρα διαβάζει...
Το αναφέρω για να...ενισχύσω αυτό που ανέφερε παραπάνω στη δημοσίευση ο Γ.Μπαλόγλου.
Καλό βράδυ!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2011 1:13 am**

Χρήστο, βρήκα από παλιό φροντιστή το εξαιρετικό βιβλίο του Ντζιώρα (*), αλλά δεν βρίσκω την άσκηση. Μπορείς να μου πεις την σελίδα;
Επίσης, τι μέθοδο χρησιμοποιεί ο Andreescu;
Θα χαρώ να μας φωτίσεις.

Φιλικά,

Μιχάλης.

(*) Το βιβλίο αυτό είναι εμβριθέστατο με πάρα πολύ ύλη και ασκήσεις που θέλουν δεξιοτεχνία. Πού να τολμήσουμε σήμερα να διδάξουμε κάτι ανάλογο. Ούτε κατά διάνοια!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2011 1:33 am**

Μιχάλη καλησπέρα(ή καλημέρα).
Όσον αφορά τη σελίδα του βιβλίου του Ντζιώρα,μόλις επικοινωνήσω με τον Σπύρο θα σπεύσω να τη γράψω.
Τώρα για τη μέθοδο που χρησιμοποιεί ο Andreescu έχουμε τα εξής:

Θεωρεί το πολυώνυμο: $\displaystyle{ P(X) = X^3 + pX + q }$ με ρίζες τα x,y,z.
Tότε,λέει:
$\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + yz) = - 2p }$
Προσθέτοντας τις σχέσεις:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} x^3 = - px - q \\ y^3 = - py - q \\ z^3 = - pz - q \\ \end{array} }$ (λόγω του ότι είναι ρίζες του πολυωνύμου)
έχουμε:
$\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 = - 3q }$
Με όμοιο τρόπο:
$\displaystyle{ x^4 + y^4 + z^4 = - p(x^2 + y^2 + z^2 ) - q(x + y + z) = 2p^2 }$
και
$\displaystyle{ \begin{array}{l} x^5 + y^5 + z^5 = - p(x^3 + y^3 + z^3 ) - q(x^2 + y^2 + z^2 ) = 5pq \\ x^7 + y^7 + z^7 = - p(x^5 + y^5 + z^5 ) - q(x^4 + y^4 + z^4 ) = - 5p^2 q - 2p^2 q = - 7p^2 q \\ \end{array} }$
Τώρα νομίζω πως είναι προφανές.
Να λοιπόν και μία τρίτη προσέγγιση,η οποία μοιάζει και με τη δική μου που δόθηκε το ξημέρωμα εκείνης της ημέρας στη Χάλκη.
Εγώ λέγοντας όλα αυτά για το βιβλίο στην ουσία καυτηριάζω το ότι μετρώντας σε μονάδες αυτενέργειας το ''χτες'' και το ''σήμερα'' διαπιστώνουμε την τρομακτικά μεγάλη διαφορά τους.
Με λίγα λόγια πότε θα έψαχνε περισσότερο ο μαθητής;Τότε ή τώρα;
Δεν είπα ποτέ να το διδάξουμε σήμερα,αλλά μήπως και το πολύ το χαϊδεμα κάνει στο τέλος κακό;Αυτό είναι το δικό μου ''point''.

Υ.Γ:Παρακαλώ τον Σπύρο αν παρακολουθεί ας βγεί να δηλώσει τη σελίδα και τον τόμο του βιβλίου.Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Υ.Γ2:Και επαναλαμβάνω:το βιβλίο του Ντζιώρα δεν το έχω δει,απλά έχω ακούσει τα καλύτερα λόγια από πάρα πολλούς συναδέλφους.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2011 2:30 am**

chris_gatos έγραψε: Και επαναλαμβάνω:το βιβλίο του Ντζιώρα δεν το έχω δει,απλά έχω ακούσει τα καλύτερα λόγια από πάρα πολλούς συναδέλφους.

Πραγματικά είναι εξαιρετικό βιβλίο και αρκετά προχωρημένο για εκεί που απευθύνεται, τουλάχιστον για τα σημερινά δεδομένα.

Από την εμπειρία έχω με τους σημερινούς πρωτοετείς φοιτητές, διαπιστώνω ότι (με εξαίρεση τους καλούς) το βιβλίο του Ντζιώρα τους ξεπερνά κατά πολύ. Το λέω με πόνο.

Μιχάλης

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2011 9:58 am**

Ηλίας Ντζιώρας,
Εν ζωή ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ με τον οποίο έχω την μέγιστη τιμή να τα λέμε κατά καιρούς διά ζώσης, Μαθηματική φυσιογνωμία επιμελητής στην έδρα του Δ. Κάππου και την τύχη να είχαμε τότε το βιβλίο αυτό σαν Μαθητές των Πρακτικών Λυκείων από από ένα από τα οποία απεφοίτησα.
Η Άλγεβρα του κου Ντζιώρα ήταν βιβλίο του Ο.Ε.Δ.Β. (σχολικό) και θεωρείται ότι είναι το καλλίτερο και πληρέστερο επιστημονικά επίσημο βιβλίο μακράν που έχει εκδοθεί ποτέ, υψηλού επιπέδου αλλά τόσο κατανοητό που εκπλήσσει. Αρχίζοντας από Μαθηματική Λογική και απλώνοντας την ύλη με ζηλευτό τρόπο συνδέοντας από απλά θέματα έως πολύ δύσκολα αλλά με φυσιολογικό τρόπο. Τολμώ να πω ότι είναι πολύ πιο σύγχρονο και Επιστημονικό από πολλά τωρινά και μάλλιστα επίσημα και σε Διεθνές ναι Διεθνές προηγμένο Μαθηματικό περιβάλλον.
Από το βιβλίο αυτό στο κεφάλαιο περί πολυωνύμων, επιτρέψτε μου να αντιγράψω αυτολεξεί:
ΑΣΚΗΣΗ *163:
΄Εάν $\alpha + \beta + \gamma = 0,\;\dot o\pi o\upsilon \;\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R},$
να δειχθεί ότι:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1)\;\left( {\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 } \right)^2 = 2\left( {\alpha ^4 + \beta ^4 + \gamma ^4 } \right)} \\ {2)\;\frac{{\alpha ^7 + \beta ^7 + \gamma ^7 }} {7} = \frac{{\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 }} {2} \cdot \frac{{\alpha ^5 + \beta ^5 + \gamma ^5 }} {5}} \\ {3)\;5\left( {\alpha ^3 + \beta ^3 + \gamma ^3 } \right)\left( {\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 } \right) = 6\left( {\alpha ^5 + \beta ^5 + \gamma ^5 } \right).} \\ \end{array} } \right.$
Υπόδειξις:
Θεωρούμε έξίσωσιν τρίτου βαθμού της οποίας αι ρίζαι είναι τα α, β, γ.
Έπειδή είναι α+β+γ=0, ή εξίσωσις αύτη είναι της μορφής:
Τότε έχομεν: αβ+ βγ+ γα=k, αβγ= -λ κ.τ.λ.

► Επιτρέψτε μου να αρνούμαι το μέγα ψεύδος ότι είμαστε οι χειρότεροι, οι διεφθαρμένοι κ.τ.λ. δεν είναι έτσι, όποιοι και αν το λένε όποιοι και αν το αισθάνονται.

S.E.Louridas

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2011 10:13 am**

Έτοιμη και η σελίδα!
Eυχαριστούμε πολύ!

S.E.Louridas έγραψε: ► Επιτρέψτε μου να αρνούμαι το μέγα ψεύδος ότι είμαστε οι χειρότεροι, οι διεφθαρμένοι κ.τ.λ. δεν είναι έτσι, όποιοι και αν το λένε όποιοι και αν το αισθάνονται.

S.E.Louridas

Εδώ Σωτήρη διαφωνούμε κάθετα.Μιά ματιά γύρω σου θα σε πείσει.Εκτός κι αν πραγματικά εθελοτυφλείς για να ξεχνιέσαι.
Ακόμη και τα διαμάντια που ομολογουμένως βγαίνουν και στις ημέρες μας χάνονται μέσα σε αυτήν τη βοθρίλα που μας
περιβάλλει.Αλλά καλύτερα ας το σταματήσω εδώ γιατί δε νομίζω πως ''κολλάει'' σε αυτήν την εξαιρετική δημοσίευση από όλες
τις απόψεις να νιώθουμε άσχημα.
Καλημέρα σε όλους.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 04, 2011 4:05 pm**

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6#p1481176

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 04, 2011 10:33 pm**

S.E.Louridas έγραψε:<...>
Η Άλγεβρα του κου Ντζιώρα ήταν βιβλίο του Ο.Ε.Δ.Β. (σχολικό)<...>

Από το βιβλίο αυτό στο κεφάλαιο περί πολυωνύμων, επιτρέψτε μου να αντιγράψω αυτολεξεί:
ΑΣΚΗΣΗ *163:
΄Εάν $\alpha + \beta + \gamma = 0,\;\dot o\pi o\upsilon \;\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R},$
να δειχθεί ότι:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1)\;\left( {\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 } \right)^2 = 2\left( {\alpha ^4 + \beta ^4 + \gamma ^4 } \right)} \\ {2)\;\frac{{\alpha ^7 + \beta ^7 + \gamma ^7 }} {7} = \frac{{\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 }} {2} \cdot \frac{{\alpha ^5 + \beta ^5 + \gamma ^5 }} {5}} \\ {3)\;5\left( {\alpha ^3 + \beta ^3 + \gamma ^3 } \right)\left( {\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 } \right) = 6\left( {\alpha ^5 + \beta ^5 + \gamma ^5 } \right).} \\ \end{array} } \right.$
<...>

Σωτήρη, δεν το βρίσκω! Για το ίδιο βιβλίο μιλάμε;

Κρατώ στα χέρια μου το Ηλία Ντζιώρα, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ ΟΕΔΒ 1977. Οι ασκήσεις στα πολυώνυμα, δηλαδή Κεφ VI σελ. 141-204, έχουν αρίθμηση από 234 έως 314. Δεν περιέχουν την 163 και καμία δεν περιέχει την παραπάνω άσκηση.

Κάθε διευκρίνιση ευπρόσδεκτη.

Φιλικά,

Μιχάλης

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 04, 2011 10:36 pm**

Mιχάλη μιλώντας με το Σπύρο μου είπε πως είναι σε βιβλίο που συνόδευε το εν λόγω βιβλίο, με υποδείξεις για τις λύσεις των ασκήσεων καθώς και συμπληρωματικές ασκήσεις.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 04, 2011 11:16 pm**

Χρήστο και Σπύρο, σας ευχαριστώ θερμά.

Φιλικά,

Μιχάλης

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 05, 2011 1:04 am**

Από σεβασμό στον Μιχάλη Λάμπρου, που μου ζήτησε προσωπικά διευκρινιστικές λεπτομέρειες.
Μιχάλη συγγνώμη που δεν σου απάντησα αμέσως αλλά μόλις τώρα είδα το μήνυμα σου,
είναι το συμπληρωματικό του καφέ του Ντζιώρα με υποδείξεις ή λύσεις ασκήσεων του βιβλίου (του καφέ), που δινόταν στα πρακτικά το 1973-74 όταν ήμουν 3η Λυκείου και που είχε και ωρισμένες επι πλέον Ασκήσεις με * με υποδείξεις. Αυτή βρίσκεται στην σελίδα 128 του εν λόγω βιβλίου και είναι ακριβώς η *163.
Μόλις μπορέσω, χρονικά, θα σου στείλω φωτοτυπία του μέρους του βιβλίου αυτού που έχω στην διαθεση μου.

S.E.Louridas

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 05, 2011 8:58 am**

Σωτήρη, ευχαριστώ πάρα πολύ.

Ίσως λίγα λόγια, βιογραφικά και λοιπά, για τον άνθρωπο Ντζιώρα θα μας ήσαν χρήσιμα. Από ότι κατάλαβα, έχεις την τύχη να τον γνωρίζεις.

Θα ανοίξω χωριστό πόστ για τους σύγχρονους νεοέλληνες μαθηματικούς, τους αφανείς εργάτες της παιδείας μας.

Να 'σαι καλά.

Φιλικά,

Μιχάλης

mathematica.gr

Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο

Re: Άσκηση προτεινόμενη από τον Σπύρο