mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 14, 2011 6:41 pm**

Μπορεί κάποιος να μου πει τα αποτελέσματα?

1) Να υπολογιστεί το $\displaystyle{ \int_{0}^{\sqrt{\frac{\pi }{2}}}{\int_{x}^{\sqrt{\frac{\pi }{2}}}{cos\left(y^{2} \right)}}dydx }$

2)
Δίνεται η επιφάνεια $\displaystyle{ S:\; z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} }$ και τα επίπεδα $\displaystyle{ z=1,z=4 }$

α) Να υπολογιστεί με τριπλή ολοκλήρωση ο όγκος του στερεού που περικλείεται μεταξύ της επιφάνειας $\displaystyle{ S }$ και των δύο επιπέδων.

β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τμήματος της επιφάνειας $\displaystyle{ S }$ που περιορίζεται μεταξύ των δύο επιπέδων.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 14, 2011 8:18 pm**

1)

: Pol.jpg (18.14 KiB) Προβλήθηκε 1248 φορές

Πρόκειται για το ολοκλήρωμα της συνάρτησης $\displaystyle{f\left( {x,y} \right) = \cos {y^2}}$ στο χωρίο που καλύπτει το τρίγωνο OAB

, με κατακόρυφη σάρωση (κίτρινο διαφορικό επιφάνειας).
Αλλάζοντας την σάρωση σε οριζόντια (κόκκινο διαφορικό επιφάνειας) έχουμε

$\displaystyle{\int\limits_0^{\sqrt {\pi /2} } {\int\limits_x^{\sqrt {\pi /2} } {\cos {y^2}dy} dx} = \int\limits_0^{\sqrt {\pi /2} } {\int\limits_0^y {\cos {y^2}dx} dy} = \int\limits_0^{\sqrt {\pi /2} } {\cos {y^2}\int\limits_0^y {1dx} dy} = \int\limits_0^{\sqrt {\pi /2} } {y\cos {y^2}dy} = \frac{1}{2}\left[ {\sin {y^2}} \right]_0^{\sqrt {\pi /2} } = \frac{1}{2}}$

2) Πρόκειται για ανάστροφο κυκλικό κώνο με κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα τον άξονα

. Είναι εύκολοι οι υπολογισμοί.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 22, 2011 7:04 pm**

Για το δεύτερο (μιας και θέλεις μόνο αποτέλεσμα) όπως λέει και ο Σεραφείμ οι υπολογισμοί είναι εύκολοι.
[attachment=1]κώνος.gif[/attachment]
[attachment=0]κώνος2.gif[/attachment]

Χρησιμοποιώντας τον τύπο που μας δίνει τον όγκο του κώνου $\displaystyle{\bf z=\sqrt{\bf x^2+y^2}}$ , $\displaystyle{\bf V=\frac{1}{3}\pi r^{3}}$ έχουμε ότι ο ζητούμενος όγκος είναι ίσος με

$\displaystyle{\bf \frac{1}{3}\pi 4^3-\frac{1}{3}\pi=\frac{63\pi}{3}=21\pi}$

ενώ για την ζητούμενη επιφάνεια με παρόμοιο τρόπο από τον τύπο $\displaystyle{\bf S=\pi r b}$ όπου r η ακτίνα του κώνου και b η γενέτειρα του κώνου (η απόσταση των συνοριακών σημείων της κυκλικής επιφάνειας από την αρχή των αξόνων),

$\displaystyle{\bf 4\pi\cdot 4\sqrt{\bf 2}-\pi\sqrt{\bf 2}=15\pi\sqrt{\bf2}}$ . Αν κατάλαβα καλά το ερώτημα δεν περιλαβάνει και τις δυο κυκλικές επιφάνειες, αν ναι πρέπει να προστεθούν άλλα δύο εμβαδά, τα π και 16π.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 02, 2011 2:51 pm**

Με ολοκληρώματα για το δεύτερο πάντα
έχουμε

Για τον όγκο με χρήση κυλινδρικών συντεταγμένων
$\displaystyle\iiint \limits_{D}rdr d\theta dz=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{4}\int_{0}^{4} r dr dz d\theta=2\pi\cdot \displaystyle\int_{1}^{4} \int_{0}^{z} rdr dz=2\pi\cdot\frac{1}{2} \int_{1}^{4} z^2 dz=\frac{1}{3}\pi\cdot63=21\pi$

Με σφαιρικές αντιστοίχως
Για $0\leqslant \phi \leqslant \pi/4$
Για $0\leqslant \theta \leqslant 2\pi$
Για $1/cos\phi<r<4/cos\phi$

Για το δεύτερο πρόκειται για ένα απλό επιφανειακό
$\displaystyle\iint \limits_{D} \dsiplaystyle\sqrt{(1+( \frac{\partial x}{\partial z})^2+(\right \frac{\partial y}{\partial z}\left)^2 )}dxdy\to\ \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{4}\sqrt{2}rdr d\phi=15\pi\sqrt{2}$
Όπου

η ορθή προβολή στο

mathematica.gr

2 θέματα Πολιτικών Μηχανικών

2 θέματα Πολιτικών Μηχανικών

Re: 2 θέματα Πολιτικών Μηχανικών

Re: 2 θέματα Πολιτικών Μηχανικών

Re: 2 θέματα Πολιτικών Μηχανικών