Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 19, 2011 9:23 pm
Υπολογίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα
στην καμπύλη
όπου η θετικά προσανατολισμένη καμπύλη του επιπέδου με ίχνος την ένωση των γραφημάτων των συναρτήσεων 
και 
στο διάστημα ![[-4,4]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/bdebec222f4aa38fc1bd1064c8e24fe4.png "[-4,4]")
στην καμπύλη
όπου η θετικά προσανατολισμένη καμπύλη του επιπέδου με ίχνος την ένωση των γραφημάτων των συναρτήσεων και στο διάστημα 
και 
, τότε 
και 
\displaystyle{\displaystyle\ointctrclockwise_{C_1}{\bigl({3y-\tfrac{y}{x^2+y^2}}\bigr)\,dx-\bigl({2x+\tfrac{x}{x^2+y^2}}\bigr)\,dy}+\ointctrclockwise_{C_2}{\bigl({3y-\tfrac{y}{x^2+y^2}}\bigr)\,dx-\bigl({2x+\tfrac{x}{x^2+y^2}}\bigr)\,dy}=}
.
, θέτουμε 
, οπότε ![I_1=\displaystyle\int_{-4}^4{\Bigl[{\Bigl({3\,({64-4t^2})-\tfrac{64-4t^2}{t^2+({64-4t^2})^2}}\Bigr)\,1-\Bigl({2t+\tfrac{t}{t^2+({64-4t^2})^2}}\Bigr)\,({-8t})}\Bigr]\,dt}=\int_{-4}^4{-4 t^2+\tfrac{64-12t^2}{16t^4-511t^2+4096}-192\,dt}\,.](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f4285df29c96bd0ef3f1f1fcc90b3fdf.png "I_1=\displaystyle\int_{-4}^4{\Bigl[{\Bigl({3\,({64-4t^2})-\tfrac{64-4t^2}{t^2+({64-4t^2})^2}}\Bigr)\,1-\Bigl({2t+\tfrac{t}{t^2+({64-4t^2})^2}}\Bigr)\,({-8t})}\Bigr]\,dt}=\int_{-4}^4{-4 t^2+\tfrac{64-12t^2}{16t^4-511t^2+4096}-192\,dt}\,.")
, θέτουμε 
, οπότε ![I_2=\displaystyle\int_{-4}^4{\Bigl[{\Bigl({3\,({4t^2-64})-\tfrac{4t^2-64}{t^2+({4t^2-64})^2}}\Bigr)\,1-\Bigl({2t+\tfrac{t}{t^2+({4t^2-64})^2}}\Bigr)\,8t}\Bigr]\,dt}=\int_{-4}^4{4 t^2-\tfrac{64-12t^2}{16t^4-511t^2+4096}+192\,dt}=](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/de634bb435b08cbde13da167ddc0c80a.png "I_2=\displaystyle\int_{-4}^4{\Bigl[{\Bigl({3\,({4t^2-64})-\tfrac{4t^2-64}{t^2+({4t^2-64})^2}}\Bigr)\,1-\Bigl({2t+\tfrac{t}{t^2+({4t^2-64})^2}}\Bigr)\,8t}\Bigr]\,dt}=\int_{-4}^4{4 t^2-\tfrac{64-12t^2}{16t^4-511t^2+4096}+192\,dt}=")
Επομένως 
και 
δεν ορίζονται στο 
(γεγονός που δεν είχα προσέξει), αποσύρω την "λύση" με την βοήθεια του θεωρήματος Green. Συγγνώμη για την "ταλαιπωρία".