mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 26, 2011 4:03 pm**

Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, ποια σημεία του επιπέδου ικανοποιούν τη συνθήκη

$\displaystyle{\sin (x+y)=\sin x+\sin y}$ ;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 26, 2011 5:13 pm**

Η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{2\sin \left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{x + y}}{2}} \right) = 2\sin \left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{x - y}}{2}} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)\left[ {\cos \left( {\frac{{x + y}}{2}} \right) - \cos \left( {\frac{{x - y}}{2}} \right)} \right] = 0.}$

Άρα, θα είναι

$\displaystyle{\sin \left( {\frac{{x + y}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow y = - x + 2k\pi ,}$ με $\displaystyle{k \in \mathbb{Z}},$

ή

$\displaystyle{\cos \left( {\frac{{x + y}}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{x - y}}{2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2m\pi ,m \in \mathbb{Z}\\ y = 2n\pi ,n \in \mathbb{Z} \end{array} \right\}.}$

Ώστε, το ζητούμενο σύνολο σημείων του επιπέδου που ικανοποιούν τη δοσμένη σχέση είναι η ένωση των ευθειών της μορφής

$y = - x + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z},$
$x = 2m\pi$ , $m \in \mathbb{Z}$
$y = 2n\pi$ , $n \in \mathbb{Z}.$

mathematica.gr

Χωρία του επιπέδου! (2)

Χωρία του επιπέδου! (2)

Re: Χωρία του επιπέδου! (2)