Riemmann ολοκλήρωμα
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 04, 2011 12:56 pm
Αν η φραγμένη συνάρτηση ![f:[a,b] \to \mathbb{R}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/1e32016b6e720735017fcee010f23652.png "f:[a,b] \to \mathbb{R}")
είναι Riemmann ολοκληρώσιμη, να εξεταστεί αν αληθεύει η πρόταση:
Το σύνολο![\displaystyle{A=\{\int_c^df(x)dx / c,d \in [a,b]\}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f02968fb0a538fb2d26921130b1f8e89.png "\displaystyle{A=\{\int_c^df(x)dx / c,d \in [a,b]\}")
είναι ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα.
είναι Riemmann ολοκληρώσιμη, να εξεταστεί αν αληθεύει η πρόταση:Το σύνολο
είναι ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα.![F:[a,b] \to \mathbb{R}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3100f13a1573e627a6a006b4d7018674.png "F:[a,b] \to \mathbb{R}")
με ![F(x)=\int_a^xf(t)dt, x \in [a,b]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/76a5e08560feb11f988dc71adf4f5862.png "F(x)=\int_a^xf(t)dt, x \in [a,b]")
είναι συνεχής, άρα υπάρχουν m,M στο R ώστε ![F([a,b])=[m,M]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9058e18735f2044f7e702e3741767cda.png "F([a,b])=[m,M]")
. Είναι:![\displaystyle{A=\{\int_c^df(x)dx / c,d \in [a,b]\}=\{F(d)-F(c): c,d \in [a,b]\}=F([a,b])-F([a,b])=[m,M]-[m,M]=[m-M,M-m]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b2f804a97af8c8976066d89d9e236fd5.png "\displaystyle{A=\{\int_c^df(x)dx / c,d \in [a,b]\}=\{F(d)-F(c): c,d \in [a,b]\}=F([a,b])-F([a,b])=[m,M]-[m,M]=[m-M,M-m]")
, το οποίο είναι κλειστό και φραγμένο διάστημα στο R.
)