mathematica.gr • Συναρτησιακή 271

Σελίδα 1 από 1

Συναρτησιακή 271

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 06, 2011 8:45 pm

από s.kap

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , για τις οποίες υπάρχουν σταθεροί πραγματικοί

$a_1,a_2,...,a_n \in (-1,1)$ ώστε $f(a_1x)+f(a_2x)+...+f(a_nx)=nf(x), \forall x \in \mathbb{R}$

Re: Συναρτησιακή 271

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 07, 2011 2:55 am

από socrates

Αξιοποιώντας την ιδέα που είδαμε εδώ,

μπορούμε να δείξουμε ότι $f(a_1^nx_0)=M, \ \forall n$ όπου x_0

x_0

θέση μεγίστου της

και

τo μέγιστό της στο [-a,a].

[-a,a].

Λόγω συνέχειας, για $n \to \infty$ έχουμε M=f(0).

M=f(0).

Ομοίως,

m=f(0),

όπου

το ελάχιστο της

στο

[-a,a].

Έτσι, η

είναι σταθερή στο [-a,a]

[-a,a]

και επειδή

αυθαίρετο, είναι σταθερή στο $\mathbb{R}.$