mathematica.gr • Ταυτοτική στους ρητούς;Ταυτοτική και στους πραγματικούς!

Σελίδα 1 από 1

Ταυτοτική στους ρητούς;Ταυτοτική και στους πραγματικούς!

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 16, 2011 12:22 am

από chris_gatos

Άσκηση προτεινόμενη από τον Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)

Αν η συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{ R }$ και ισχύει $\displaystyle{ f(\rho ) = \rho ,\forall \rho \in Q }$ να δείξετε ότι $\displaystyle{ f(x) = x,\forall x \in R }$

Re: Ταυτοτική στους ρητούς;Ταυτοτική και στους πραγματικούς!

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 16, 2011 1:22 am

από Mihalis_Lambrou

chris_gatos έγραψε:Άσκηση προτεινόμενη από τον Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)

Αν η συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{ R }$ και ισχύει $\displaystyle{ f(\rho ) = \rho ,\forall \rho \in Q }$ να δείξετε ότι $\displaystyle{ f(x) = x,\forall x \in R }$

Έστω

άρρητος. Αν f(x) < x

f(x) < x

, επιλέγουμε ρητό $\rho$ με $f(x) < \rho <x$ (πυκνότητα των ρητών). Από την τελευταία και από την υπόθεση ότι η

είναι γνήσια αύξουσα έχουμε $\rho = f(\rho) < f(x) < \rho$ , άτοπο. Όμοια οδηγούμαστε σε άτοπο αν f(x) > x

f(x) > x

. Τελικά

f(x) = x

.

Φιλικά,

Μιχάλης

Re: Ταυτοτική στους ρητούς;Ταυτοτική και στους πραγματικούς!

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 16, 2011 2:03 am

από Mihalis_Lambrou

Αλλιώς (και για να θυμηθούμε το Αξίωμα του κιβωτισμού που κάποτε ήταν στην ύλη της Α Λυκείου!).

Έστω $x\in \mathbb R$ . Θεωρούμε ακολουθία (r_n)

(r_n)

ρητών που αυξάνει προς το

και μια δεύτερη (t_n)

(t_n)

που φθίνει προς το

. Εξ υποθέσεως έχουμε f(r_n) < f(x) < f(t_n)

f(r_n) < f(x) < f(t_n)

(*). Τα διαστήματα $[r_n, \, t_n]$ είναι κιβωτισμένα με μοναδικό στοιχείο στην τομή τους το

. Όμως $[r_n, \, t_n] = [f(r_n) , \, f(t_n)]$ και τα τελευταία, λόγω της (*), περιέχουν το f(x)

f(x)

. Από μοναδικότητα της τομής έχουμε f(x)=x

f(x)=x

, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης