mathematica.gr • Σταθερά σημεία συνάρτησης

Σελίδα 1 από 1

Σταθερά σημεία συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 16, 2011 12:17 pm

από s.kap

Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μία συνάρτηση με την ιδιότητα $f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$

(προσθετική). Αν το σύνολο $A=\{x \in \mathbb{R}/f(x)=x\}$ είναι πεπερασμένο, πόσα στοιχεία έχει;

Re: Σταθερά σημεία συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 16, 2011 1:15 pm

από Marios V.

αν για κάποιον αριθμό

ισχύει

f(k)=k

, τότε

f(ak)=f(k)+f(k)+f(k)+...+f(k)=ak

. Οπότε θα ισχύει και για τους άπειρους αριθμούς

. Απο την άλλη, για x=y=0

x=y=0

έχουμε ότι πρέπει f(0)=2f(0)

f(0)=2f(0)

, και άρα

f(0)=0

. Για

k=0

, έχουμε

ak=0

που σημαίνει ότι για k=0

k=0

οι αριθμοί

δεν είναι άπειροι.
Οπότε το ζητούμενο ισχύει μόνο για x=0

x=0

.