mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 20, 2011 4:47 pm**

Εαν $\displaystyle{f(x)}$ γνωστή και συνεχής συναρτηση και $\displaystyle{F(x) = \int\limits_0^x {\left[ {\left( {{t^2} + 1} \right)\int\limits_2^t {f\left( u \right)du} } \right]dt} }$ να βρεθεί η τιμή της $\displaystyle{F''\left( 2 \right)}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 20, 2011 6:52 pm**

Έχουμε:

$\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}{\left[t^2\int_{2}^{t}{f(u)du}+\int_{2}^{ t}{f(u)du} \right]dt}=\int_{0}^{x}{\left(t^2\int_{2}^{t}{f(u)du} \right)dt}+\int_{0}^{x}{\left(\int_{2}^{t}{f(u)du} \right)dt}$

Προφανώς

παραγωγίσιμη με
$\displaystyle F'(x)=x^2\int_{2}^{x}{f(u)du}+\int_{2}^{x}{f(u)du}$

και

επίσης παραγωγίσιμη με
$\displaystyle F''(x)=2x\int_{2}^{x}{f(u)du}+x^2f(x)+f(x)$

άρα F''(2)=5f(2)

που είναι και η ζητούμενη τιμή αφού

γνωστή συνάρτηση.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 20, 2011 7:11 pm**

Η

είναι συνεχής στο $\Delta$ άρα η $\int_{2}^{t}{f(u)du}$ και η x^2+1

παραγωγίσιμες άρα η $(x^2+1)\cdot\int_{2}^{t}{f(u)du}$
απότε η

είναι παραγωγίσιμη στο ;;; με
$F'(x)=\left(\int_{0}^{x}\left( {(t^2+1)\cdot \int_{2}^{t}{f(u)du}}\right)dt\right)'=(x^2+1)\cdot \int_{2}^{x}{f(u)du}$ .
και επομένως η

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με
$F''(x)=\left( (x^2+1)\cdot \int_{2}^{x}{f(u)du}\right)'= 2x\cdot \int_{2}^{x}{f(u)du}+(x^2+1)\cdot f(x)$ .
Για x=2

έχουμε ότι F''(2) = 5f(2)

.

Χρήστος

mathematica.gr

Τιμη Αρχικης

Τιμη Αρχικης

Re: Τιμη Αρχικης

Re: Τιμη Αρχικης