mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 21, 2011 9:13 pm**

Να λυθεί η :

$\displaystyle{{x^6} - 7{x^2} + \sqrt 6 = 0}$

στους πραγματικούς.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 21, 2011 9:22 pm**

solars έγραψε:Να λυθεί η :

$\displaystyle{{x^6} - 7{x^2} + \sqrt 6 = 0}$

στους πραγματικούς.

Θέτουμε $\displaystyle{x^2=y\sqrt{6},}$ οπότε η εξίσωση γίνεται

$\displaystyle{6y^3-7y+1=0,}$

δηλαδή

$\displaystyle{(y-1)(6y^2+6y-1)=0,}$

οπότε είναι

$\displaystyle{y=1}$ ή $\displaystyle{y=\frac{-3+\sqrt{15}}{6}}$ ή $\displaystyle{y=\frac{-3-\sqrt{15}}{6}}$ .

Άρα αναγόμαστε στη λύση των εξισώσεων

$\displaystyle{x^2=\sqrt{6}}$ , $\displaystyle{x^2=\frac{-3+\sqrt{15}}{6}\sqrt{6},}$ $\displaystyle{x^2=\frac{-3-\sqrt{15}}{6}\sqrt{6}}$ .

Η πρώτη έχει τις ρίζες $\displaystyle{x=\pm \sqrt[4]{6},}$

η δεύτερη τις $\displaystyle{x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{15}-3}{\sqrt{6}}}}$ ,

ενώ η τρίτη είναι φανερά αδύνατη.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 22, 2011 2:09 pm**

matha έγραψε:
Θέτουμε $\displaystyle{x^2=y\sqrt{6},}$

Ωραίο

Η λίγο διαφορετικά με διάσπαση του -7x^2

και παραγοντοποίηση

$\displaystyle{x^6-7x^2+\sqrt6=0\Leftrightarrow x^6-6x^2-x^2+\sqrt6=0 \Leftrightarrow x^2(x^4-6)-(x^2-\sqrt6)=0\Leftrightarrow}$
$\displaystyle{x^2(x^2-\sqrt6)(x^2+\sqrt6)-(x^2-\sqrt6)=0\Leftrightarrow (x^2-\sqrt6)\left ( x^2(x^2+\sqr6)-1 \right )=0}$
Και απο εδώ και κάτω όπως ο Θάνος

mathematica.gr

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση