mathematica.gr • Ανισότητα 84

Σελίδα 1 από 1

Ανισότητα 84

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 23, 2011 10:35 am

από erxmer

Aν

a, b, c

είναι οι πλευρές ενός τριγώνου δείξτε οτι
$\displaystyle{\frac{a}{\sqrt{a+2b+2c}}+\frac{b}{\sqrt{b+2c+2a}}+\frac{c}{\sqrt{c+2a+2b}}\leq \sqrt{\frac{2}{3}(a+b+c)}}$

Re: Ανισότητα 84

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 12, 2011 7:48 pm

από tasosty

a=x+y, b=y+w, c=x+w

$\displaystyle{\sum {\frac{a}{{\sqrt {a + 2b + 2c} }}} = \sum {\frac{{x + y}}{{\sqrt {4w + 3x + 3y} }}} \le \sum {\frac{{x + y}}{{\sqrt {3(w + x + y)} }}} = \frac{{2(x + y + w)}}{{\sqrt {3(x + y + w)} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt {x + y + w} = \sqrt {\frac{{4(x + y + w)}}{3}} = \sqrt {\frac{{2(a + b + c)}}{3}} }$