mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 26, 2011 12:13 pm**

Να βρείτε όλες τις γωνίες

και

ώστε :

$\displaystyle{\sin \left( {A + B} \right) = \sin A + \sin B}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 26, 2011 12:55 pm**

Υποθέτουμε ότι οι $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ είναι γωνίες τριγώνου $\displaystyle{ AB\Gamma }$ , τότε από την δοθείσα σχέση προκύπτει:

$\displaystyle{ 2\sin \frac{{A + B}}{2}\sin \frac{{A + B}}{2} - 2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} = 0 }$

$\displaystyle{ 2\sin \frac{{A + B}}{2}\left( {\cos \frac{{A + B}}{2} - \cos \frac{{A - B}}{2}} \right) = 0 }$

$\displaystyle{ 2\sin \frac{{A + B}}{2} \cdot 2\sin \frac{{\frac{{A + B}}{2} + \frac{{A - B}}{2}}}{2}\sin \frac{{\frac{{A - B}}{2} - \frac{{A + B}}{2}}}{2} = 0 }$

$\displaystyle{ -4\sin \frac{{A + B}}{2} \cdot \sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} = 0 }$

από όπου προκύπτει:

$\displaystyle{ \sin \frac{{A + B}}{2} = 0 }$ ή $\displaystyle{ \sin \frac{A}{2} = 0 }$ ή $\displaystyle{ \sin \frac{B}{2} = 0 }$

και επειδή μιλάμε για γωνίες τριγώνου έχουμε ότι:

$\displaystyle{ A + B = 0 \Rightarrow \Gamma = \pi }$ ή $\displaystyle{ A = 0 }$ ή $\displaystyle{ B = 0 }$

συνεπώς δεν υπάρχει τρίγωνο με τέτοιες γωνίες $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 26, 2011 9:36 pm**

Λίγο διαφορετικά στην αρχή από τον Σπύρο
Με βάση τους απαγορευμένους τύπους
$\eta \mu (A+B)=\eta \mu A +\eta \mu B \Rightarrow\eta \mu A\sigma \upsilon \nu B + \eta \mu B \sigma \upsilon \nu A = \eta \mu A + \eta \mu B \Rightarrow$
$\eta \mu A + \eta \mu B - \eta \mu A\sigma \upsilon \nu B - \eta \mu B \sigma \upsilon \nu A = 0\Rightarrow$
$\eta \mu A(1-\sigma \upsilon \nu B)+\eta \mu B(1-\sigma \upsilon \nu A)=0\Rightarrow$
$2\eta \mu \frac{A}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{A}{2} 2\eta \mu ^2\frac{B}{2}+ 2\eta \mu \frac{B}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{B}{2} 2\eta \mu ^2\frac{A}{2}=0\Rightarrow$
$4\eta \mu \frac{A}{2}\eta \mu \frac{B}{2}(\sigma \upsilon \nu \frac{A}{2} \eta \mu \frac{B}{2}+\sigma \upsilon \nu \frac{B}{2} \eta \mu \frac{A}{2})=0\Rightarrow$
$4\eta \mu \frac{A}{2}\eta \mu \frac{B}{2}\eta \mu \frac{A+B}{2}=0\Rightarrow$

και μετά όμοια όπως ο Σπύρος

Χρήστος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 10, 2011 1:52 pm**

Μια διαφορετική αντιμετώπιση χωρίς την παραδοχή ότι οι $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ είναι γωνίες τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ εδώ.

mathematica.gr

Γωνιες

Γωνιες

Re: Γωνιες

Re: Γωνιες

Re: Γωνιες