Σελίδα 1 από 1
Συγκρι-σουλα
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 28, 2011 6:47 am
από solars
Να συγκρίνεται τα ολοκληρώματα
![\displaystyle{I = \int\limits_0^1 {\sqrt[4]{{1 - {x^7}}}} dx}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/1edc2a75b4729be02a0189ce292b7c4b.png "\displaystyle{I = \int\limits_0^1 {\sqrt[4]{{1 - {x^7}}}} dx}")
και
![\displaystyle{J = \int\limits_0^1 {\sqrt[7]{{1 - {t^4}}}} dt}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b9333f340420fc26c0747b7d31696787.png "\displaystyle{J = \int\limits_0^1 {\sqrt[7]{{1 - {t^4}}}} dt}")
Re: Συγκρι-σουλα
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 28, 2011 1:42 pm
από Mihalis_Lambrou
Είναι ίσα.
Το πιο απλό είναι να παρατηρήσουμε ότι οι δύο συναρτήσεις είναι αντίστροφες η μία της άλλης. Μπορούμε τώρα να σχεδιάσουμε πρόχειρα τα δύο γραφήματα και θα δούμε ότι, λόγω συμμετρίας από την
, περικλείουν τα ίδια εμβαδά.
Αλγεβρικά, κάνουμε στο πρώτο ολοκλήρωμα την αλλαγή μεταβλητής
![y = \sqrt[4]{1-x^7}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/0fc373e2a8c0b662c0f32f25d00e6bbe.png "y = \sqrt[4]{1-x^7}")
, και θα δούμε ότι μετατρέπεται στο δεύτερο (με y στη θέση του x).
Φιλικά,
Μιχάλης
Re: Συγκρι-σουλα
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 29, 2011 6:37 pm
από solars
Mihalis_Lambrou έγραψε:Είναι ίσα.
Σωστά και εγώ την ίδια δικαιολόγηση έχω.Έχεις μήπως καμιά ιδέα για τον υπολογισμό του
;
Re: Συγκρι-σουλα
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 30, 2011 11:43 am
από Math Rider
Μια ακόμα λύση με τρεις αντικαταστάσεις!:
εδώ
Όσο για τον υπολογισμό, ούτε αυτό ξέφυγε από τον κ.Τσιπέλη!:
εδώ (που μας δίνει και εναλακτικό τρόπο απόδειξης)
(Αν και κάθε προσέγγιση έχει την δική της χάρη, προσωπικά προτιμώ την πρώτη λύση του κ. Λάμπρου με τις αντίστροφες)