mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 04, 2011 1:28 pm**

Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ αν $f(2x) = (e^{x}+1)f(x), \ \forall x \in \mathbb{R}.$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 04, 2011 5:05 pm**

socrates έγραψε:Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ αν $f(2x) = (e^{x}+1)f(x), \ \forall x \in \mathbb{R}.$

Για

βρίσκουμε

.

Η αρχική γράφεται $\displaystyle{ f(x) = (e^{\frac{x}{2}}+1)f \left( \frac{x}{2} \right) = \frac {e^x-1}{e^{\frac{x}{2}}-1}f \left( \frac{x}{2} \right)$ . Επαγωγικά βρίσκουμε

$\displaystyle{ f(x) = \frac {e^x-1}{e^{\frac{x}{2^n}}-1}f \left( \frac{x}{2^n} \right) = (e^x-1) \frac{1}{\frac {e^{\frac{x}{2^n}}-1}{\frac{x}{2^n}}}}\frac {f \left( \frac{x}{2^n} \right)-f(0)}{\frac{x}{2^n}-0}} \to(e^x-1) \cdot 1 \cdot f^{\prime}(0)$

(διότι $\displaystyle \frac {x}{2^n}} \to 0$ καθώς $n \to \infty$ και $\frac {e^t-1}{t}\to 1$ καθώς $t\to 0$ ).

Tελικά f(x)=c(e^x-1)

(c σταθερά), που ικανοποιεί την αρχική.

Φιλικά,

Μιχάλης

mathematica.gr

Βρείτε την f!

Βρείτε την f!

Re: Βρείτε την f!