mathematica.gr • Γεωμετρείν 4

Σελίδα 1 από 1

Γεωμετρείν 4

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 07, 2011 5:45 am

από Δημήτρης Μυρογιάννης

Να δείξετε ότι η περιφέρεια (A,D,E)

(A,D,E)

διέρχεται (εκτός του

) από σταθερό σημείο , όπου D, E

D, E

δυο (μεταβλητά) σημεία επί των AB, AC

AB, AC

αντίστοιχα, τέτοια ώστε BD=CE

BD=CE

.

: ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 4.PNG (12.25 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

Re: Γεωμετρείν 4

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 07, 2011 5:19 pm

από p_gianno

Εστω

σημείο της

έτσι ώστε

BI=AC (= x+y)

(1).
Η μεσοκάθετος του

(στο

) και η μεσοκάθετος της

(στο

) τέμνονται στο

.
Είναι επομένως AZ=ZI

AZ=ZI

(2) και

ZC=ZB

(3) .
Θα δείξουμε ότι

είναι το ζητούμενο δεύτερο σταθερό σημείο.
Από 1,2,3 έχουμε τργ AZC

AZC

=τργ

BIZ

συνεπώς

<ACZ=<IBZ

(4) ,

CAZ=ZIB

(5)
Από 1,2,3,4,5 προκύπτει ότι τργ EAZ

EAZ

= τργ

DIZ

(άρα

<AZE=<IZD

) και τργ

EZC=

τργ

BZD

(άρα

< EZC=<BZD

)
Είναι όμως < IZB = <AZC=ct =IZD+DZB

< IZB = <AZC=ct =IZD+DZB

Στο ισοσκελές τργ EZD

EZD

(

EZ=ZD

λόγω των ίσων τργ EAZ,DIZ

EAZ,DIZ

)
είναι
<EZD=<EZC+<CZI+<IZD=DZB+<CZI+<IZD = CZI+(< DZB+< IZD)< CZI+< IZB=ct.

<EZD=<EZC+<CZI+<IZD=DZB+<CZI+<IZD = CZI+(< DZB+< IZD)< CZI+< IZB=ct.

Συνεπώς το ισοσκελές τργ EZD

EZD

παραμένει όμοιο προς εαυτό για τις διάφορες θέσεις του

.
Επομένως <ZAI=<ZAD=<ZED

<ZAI=<ZAD=<ZED

(αφού

ZAI

είναι μία απο τις θέσεις του τργ ZED

ZED

) δηλ

AEDZ

εγγράψιμμο
δηλ ο κύκλος (A,E,D)

(A,E,D)

διέρχεται από το σταθερό σημείο

Re: Γεωμετρείν 4

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 07, 2011 7:43 pm

από S.E.Louridas

Ας μου επιτραπεί μία θεωρητική παρέμβαση.
Το πρόβλημα, επί της ουσίας, είναι το γνωστό πρόβλημα του Mac Laurin:
«Σε σταθερού μέτρου γωνία BAC

BAC

και επί των πλευρών της κινούνται τα σημεία

στην

AB,

στην

AC,

ώστε η διαφορά $\left| {AD - AE} \right|,$
να παραμένει σταθερή ( εδώ είναι $\left| {AB - AC} \right| = \left| {b - c} \right|$ ), τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ADE

ADE

διέρχεται από σταθερό σημείο της εξωτερικής διχοτόμου».
Μία ωραία και σύντομη απόδειξη ( η απόδειξη του συναδέλφου είναι, κατά τη προσωπική μου άποψη, επίσης καλή) είναι με χρήση του θεωρήματος του Πτολεμαίου σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

S.E.Louridas