mathematica.gr • Συναρτησιακή 365

Σελίδα 1 από 1

Συναρτησιακή 365

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 12, 2011 4:05 am

από socrates

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $x^{2}+x^{2}f(y)+yf(x)=xf(y)+x+yf(x^{2})$ , για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Re: Συναρτησιακή 365

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 12, 2011 1:00 pm

από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ

Έχουμε από την υπόθεση:

$x^{2}+x^{2}f(y)+yf(x)=xf(y)+x+yf(x^{2})$ (1)

Θέτουμε στην (1) όπου

το

και παίρνουμε:

$x^{2}+x^{2}f(y)+yf(-x)=-xf(y)-x+yf(x^{2})$ (2)

Από $(1)-(2)\Rightarrow yf(x)-yf(-x)=2xf(y)+2x$ (3)

Θέτουμε στην (3) y=1

y=1

και βρίσκουμε 2xf(1)+f(-x)+2x=f(x)

2xf(1)+f(-x)+2x=f(x)

(4)

Επίσης η (3) για y=x

y=x

δίνει

xf(x)-xf(-x)=2xf(x)+2x

και με $x\neq 0$ παίρνουμε:

f(-x)=-f(x)-2

f(-x)=-f(x)-2

Τώρα η σχέση (4) γράφεται:

$2xf(1)-2-f(x)+2x=f(x)\Rightarrow f(x)=xf(1)+2x-2$ άρα $f(x)=\left(f(1)+1) \right)x-1=ax-1$

όπου a=f(1)+1

a=f(1)+1

είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Βρήκαμε δηλαδή ότι f(x)=ax-1

f(x)=ax-1

για κάθε $x\epsilon R^{*},a\epsilon R$

Στο μεταξύ, η σχέση (3) για y=0

y=0

δίνει $2xf(0)+2x=0\Rightarrow 2x\left(f(0)+1 \right)=0$

για κάθε $x\epsilon R$ και άρα f(0)=-1

f(0)=-1

Τελικά λοιπόν έχουμε βρει ότι f(x)=ax-1

f(x)=ax-1

για κάθε $x\epsilon R$ όπου

είναι τυχαίος πραγματικός αριθμός. Ο τύπος αυτός που βρήκαμε, εύκολα βλέπουμε ότι επαληθεύει την δοσμένη σχέση.