Ρητός αριθμός
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 21, 2011 12:55 pm
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ![\displaystyle{A=\sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/0cd412910502b32c9ee8c76ba0cb45a9.png "\displaystyle{A=\sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}}")
είναι ρητός.
είναι ρητός.
και έχουμε:![A=\sqrt[3]{6+a}+\sqrt[3]{6-a}\Leftrightarrow A^{3}=12+3\sqrt[2]{6+a}\sqrt[3]{36-a^{2}}+3\sqrt[3]{6-a}\sqrt[3]{36-a^{2}}\Leftrightarrow
A^{3}=12+3\sqrt[3]{36-\frac{837}{27}}A\Leftrightarrow A^{3}-5A-12=0\Leftrightarrow (A-3)(A^{2}+3A+4)=0\Leftrightarrow A=3](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/980416c32e70e7935e33b5662bcd9426.png "A=\sqrt[3]{6+a}+\sqrt[3]{6-a}\Leftrightarrow A^{3}=12+3\sqrt[2]{6+a}\sqrt[3]{36-a^{2}}+3\sqrt[3]{6-a}\sqrt[3]{36-a^{2}}\Leftrightarrow
A^{3}=12+3\sqrt[3]{36-\frac{837}{27}}A\Leftrightarrow A^{3}-5A-12=0\Leftrightarrow (A-3)(A^{2}+3A+4)=0\Leftrightarrow A=3")
Σελίδα 1 από 1
Re: Ρητός αριθμός
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 21, 2011 3:48 pm
Ονομάζουμε και έχουμε:
και έχουμε:Re: Ρητός αριθμός
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 21, 2011 4:23 pm
Μία λίγο διαφορετική λύση είχα κατά νου...
Αν θέσουμε
, τότε ![\displaystyle{A=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=\frac{x+y}{\sqrt[3]{x}^2-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y}^2}=...=\frac{12}{4}=3 \in \mathbb Q.}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2b92693c82659e96914db844fd9c63b1.png "\displaystyle{A=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=\frac{x+y}{\sqrt[3]{x}^2-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y}^2}=...=\frac{12}{4}=3 \in \mathbb Q.}")
Αν θέσουμε
, τότε