mathematica.gr


https://www.mathematica.gr/forum/

1-1 σε διάστημα

https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=18368

Σελίδα 1 από 1

1-1 σε διάστημα

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 27, 2011 9:33 pm
από socrates
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f\left[{{x^{2}}+{y^{2}}+2f\left({xy}\right)}\right] ={\left[{f\left({x+y}\right)}\right]^{2}}, για κάθε x,y \in \mathbb{R}
και οι οποίες είναι 1-1 στο (2011,+\infty).

Re: 1-1 σε διάστημα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 08, 2011 3:45 am
από AlexandrosG
Πολύ ωραίο πρόβλημα. Βάζω μια λύση σε hide γιατί αξίζει να την λύσετε μόνοι σας.
Για \displaystyle{y=0} παίρνουμε \displaystyle{f(x^2+2f(0))=f^2(x)}.

Άρα η συναρτησιακή εξίσωση γίνεται

\displaystyle{f(x^2+y^2+2f(xy))=f(x^2+y^2+2xy+2f(0))}.

Έστω \displaystyle{z \in \mathbb{R}}. Θέτουμε στην προηγούμενη \displaystyle{y=\frac{z}{x}}.

\displaystyle{f(x^2+\frac{z^2}{x^2}+2f(z))=f(x^2+\frac{z^2}{x^2}+2z+2f(0))}

Διαλέγουμε \displaystyle{x} αρκετά μεγάλο τέτοιο ώστε τα \displaystyle{x^2+\frac{z^2}{x^2}+2f(z),x^2+\frac{z^2}{x^2}+2z+2f(0)} να γίνουν μεγαλύτερα

του \displaystyle{2011}(γίνεται γιατί ως συνάρτηση του \displaystyle{x} αυξάνουν στο άπειρο). Εκεί η \displaystyle{f} είναι 1-1. Άρα

\displaystyle{x^2+\frac{z^2}{x^2}+2f(z)=x^2+\frac{z^2}{x^2}+2z+2f(0)}

Δηλαδή \displaystyle{f(z)=z+f(0)}. Το βάζουμε στην αρχική και βρίσκουμε την λύση \displaystyle{f(z)=z}.

Re: 1-1 σε διάστημα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 20, 2012 3:56 pm
από socrates
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=371329

Re: 1-1 σε διάστημα

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 21, 2012 12:53 pm
από chrislg
Οι δίκλαδες fπου είναι ταυτοτικές, για x μεγαλύτερα του 2011και σταθερές (0 η 1)για x μικρότερα του 2011 δεν αποτελούν λύση ;

Re: 1-1 σε διάστημα

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 21, 2012 1:03 pm
από Demetres
Όχι. Π.χ. πάρε x=y=1000. Τότε (f(x+y))^2 = 0 αλλά f(x^2 + y^2 + 2f(xy)) = 4000000
Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+02:00
Σελίδα 1 από 1

Δημιουργήθηκε από phpBB® Forum Software © phpBB Limited


Ελληνική μετάφραση από το phpbbgr.com