mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 29, 2011 8:10 pm**

Αναπάντητη από το ML (http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=401585):

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ συνάρτηση τέτοια ώστε $|f(x+y)-f(x)-f(y)|\le |x-y|\ ,\ \forall\ x,y\in\mathbb{R} .$

Να δείξετε ότι $\displaystyle \lim_{x\to 0}\, f(x)=0\iff\lim_{x\to 0}\, xf(x)=0 .$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 30, 2011 3:40 pm**

Το ευθύ είναι προφανές.

Για το αντίστροφο : Θέτοντας y = x

παρατηρούμε ότι f(2x) = 2 f(x)

.

Εστω ότι δεν ισχύει $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0$ . Τότε, για κάποιο m>0

και για άπειρες τιμές του $n \in \mathbb{N}$ θα υπάρχει $\epsilon_n \in [4^{-n-1}, 4^{-n}]$ με $\displaystyle |f( \epsilon_n) | > m \implies |f(2^n \epsilon_n)| > 2^n m \implies |2^n \epsilon_n f(2^n \epsilon_n)| > 4^n \epsilon_n m \geq \frac{m}{4}$ .

Θέτοντας $a_n = 2^n \epsilon_n$ έχουμε $a_n \leq 2^{-n}$ οπότε $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0$ ενώ η |a_n f(a_n)|

είναι φραγμένη κάτω από το $\displaystyle \frac{m}{4}$ . Ετσι, δεν ισχύει $\displaystyle \lim_{x \to 0} xf(x) = 0$ .

mathematica.gr

Ισοδυναμία ορίων

Ισοδυναμία ορίων

Re: Ισοδυναμία ορίων