mathematica.gr

Ας μεταφερθεί αν δεν είναι σωστός ο φάκελος...

1. Να κατασκευαστεί τρίγωνο με δεδομένο το περίκεντρο , το έγκεντρο και ένα παράκεντρο .

2. Να βρεθεί η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται από τα για να υπάρχει το ζητούμενο τρίγωνο.

3. Αν η συνθήκη δεν ικανοποιείται, να διερευνηθεί η σχέση των σημείων με το τρίγωνο που προκύπτει από την κατασκευή.

Ας ονομάσουμε το σημείο τομής της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου. 'Ενας εύκολο υπολογισμός με γωνίες μας δείχνει πως και επομένως το ανήκει στη μεσοκάθετο της πλευράς του ορθογωνίου άρα είναι το μέσο της και επομένως είναι γνωστό. Ξέρουμε δύο γεωμετρικούς τόπους για το κάθε ένα από τα , : Τους γνωστούς κύκλους και . Επομένως τα , προσδιορίζονται. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να υπάρχουν είναι οι κύκλοι να τέμνονται σε δύο σημεία που σημαίνει πως πρέπει και τελικά πρέπει που μας οδηγεί στην ισοδύναμη συνθήκη που πρέπει να κανοποιούν τα δεδομένα για να κατασκευάζονται τα . Για να κατασκευάζεται το θα πρέπει ο κύκλος να τέμνει την ευθεία που σημαίνει πως πρέπει η απόσταση του από την ευθεία να ικανοποιεί την σχέση (που ισχύει). Επειδή η πρώτη συνθήκη μας λέει πως πρέπει τελικά φθάνουμε στην συνθήκη πως πρέπει το να είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου .

Νομίζω ότι έτσι έχουν απαντηθεί τα ερωτήματα 1) και 2).
Στο ερώτημα 3) κάτι δεν καταλαβαίνω και δεν έχω απάντηση .
Μαυρογιάννης

Νίκο, νομίζω ότι κάτι δεν πάει καλά. Η συνθήκη που δίνεις είναι αναγκαία, όχι όμως ικανή. Π.χ., αν το βρίσκεται επί της μεσοκαθέτου του και σε μεγάλη απόσταση, το θα βρεθεί μεταξύ εγκέντρου και παρακέντρου που δε μπορεί να ισχύει.

Οσο για το (3), η ιδέα είναι ότι, και αν ακόμα η συνθήκη δεν ισχύει, κάποιο τρίγωνο μπορεί να κατασκευαστεί ακολουθώντας τα ίδια βήματα της κατασκευής του ερωτήματος (1) (εκτός από κάποιες (δυο) περιπτώσεις εκφυλισμού). Σε αυτό το τρίγωνο, τα δε θα είναι πλέον (Περίκεντρο, Εγκεντρο, Παράκεντρο). Τι θα είναι;