mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 03, 2011 7:40 pm**

...Χαιρετώ την εκλεκτή παρέα μετά από αρκετό καιρό....
ευχόμενος δύναμη και κουράγιο σε όλους τους διδάσκοντες και διδασκομένους
λιγο πριν την έναρξη της νέας σχολικής χρονιάς...
και για δυναμικό ξεκίνημα επισυνάπτω ένα διαγώνισμα που έφτιαξα (στην ύλη που αναφέρω) γιά τα παιδιά παίρνοντας και ιδέες από την παρέα μας εδώ....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΤΡΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ.doc: (82 KiB) Μεταφορτώθηκε 1037 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 01, 2011 12:28 am**

ενδεικτική απάντηση για το θέμα β...
ερώτημα α'
$\left ( 1+i\sqrt{3} \right )z_1 -1+i\sqrt{3}=0\Leftrightarrow z_1=\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}}$
απο τούς τύπους vieta o z_1

είναι ρίζα τής εξίσωσης μόνο και μόνο αν
$z_1+\bar{z_1}=-\frac{b}{a}=-1$ και
$z_1\bar{z_1}=\frac{c}{a}=1$
είναι
$z_1+\bar{z_1}=\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}}+\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}= \frac{(1-i\sqrt{3})^{2}+(1+i\sqrt{3})^{2}}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})}= \frac{1-2i\sqrt{3}-3+1+2i\sqrt{3}-3}{1+3}=-1$
επίσης
$z_1\bar{z_1}=\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}}=1$

άρα z_1

ρίζα τής

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 01, 2011 12:50 am**

ερώτημα β'
είναι
$z_1^2=(\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}})^2=\frac{1-2i\sqrt{3}-3}{1+2i\sqrt{3}-3}=\frac{-2-2i\sqrt{3}}{-2+2i\sqrt{3}}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{-1+i\sqrt{3}}=\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}=\bar{z_1}$
οπότε
$z_1^3=z_1^2z_1=z_1\bar{z_1}=\frac{c}{a}=1$

ερώτημα γ'
$(\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}})^{2012} + (\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}})^{2014}+1=\bar{z_1}^{2012}+\bar{z_1}^{2014}+1= \overline{z_1^{2012}+z_1^{2014}+1}=\overline{z_1^{2010}z_1^{2}+z_1^{2013}z_1+1}= \overline{z_1^{3^{(670)}}z_1^{2}+z_1^{3}^{(671)}z_1+1}=\overline{z_1^{2}+z_1+1}= 0$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 01, 2011 1:21 am**

επίσης για το θέμα Δ
α)
g(x)=xe^x ,x > 0

έστω

με

$x_1< x_2 \Rightarrow e^{x_1}<e^{x_2}$
0<x_1< x_2

πολλαπλασιάζοντα κατα μέλη έχουμε
$x_1e^{x_1}< x_2e^{x_2}\Rightarrow g(x_1)< g(x_2)$

άρα $g(x)\nearrow (0,+\infty)\Rightarrow g 1-1$ ,άρα η g αντιστρέφεται

β)επειδή για x>0

είναι

τότε

και επειδή φυσικά $e^{f(x)}> 0$ τότε θα είναι και f(x)> 0

άρα $f(x)e^{f(x)}=g(f(x))$
άρα g(f(x))=xlnx ,x> 1

θεωρώ την συνάρτηση h(x)=xlnx ,x>1

για

είναι

και

πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη θα είναι
h(x_1)< h(x_2)

άρα h(x) γνησίως αύξουσα στο $(1,+{\infty})$
επίσης για $x_1< x_2 \in (0,+{\infty})$
$h(x_1)< h(x_2)\Rightarrow g(f(x_1))< g(f(x_2))$
και επείδη η g γνησίως αύξουσα θα είναι f(x_1)< f(x_2)