mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 05, 2011 6:10 pm**

Ένα θέμα από το παλιό αρχείο μου. Από την εποχή που οι ακολουθίες ήταν βασικό ζήτημα διδασκαλίας στην τρίτη λυκείου.Τώρα αναρωτιέμαι τι δυσκολίες αντιμετωπίζουν οι διδάσκοντες στα τριτοβάθμια ιδρύματα με παιδιά που δεν έχουν ιδέα από αυτές.

Να βρείτε το όριο της ακολουθίας
$a_{n}=\sqrt[n]{\frac{n!}{5\cdot 9\cdot 13\cdot \cdot \cdot \left(4n+1 \right)}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 05, 2011 6:20 pm**

Θέτουμε $a_n=\sqrt[n]{t_n},$ οπότε το ζητούμενο όριο είναι

$\displaystyle \lim a_n=\lim \frac{t_{n+1}}{t_n}=\lim \frac{n+1}{4n+5}=\frac{1}{4}.$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 05, 2011 6:25 pm**

Πολύ σωστά.Αυτή η λύση υπάρχει στο κιτρινισμένο φύλλο του μπλε ντοσιέ που έχω από το 1985.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 05, 2011 7:36 pm**

Μια διαφορετική λύση. Έστω $\displaystyle b_{n}=\frac{n}{4n+1}, n \in \mathbb{N}$ . Τότε ως γνωστόν: $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{b_{n}} \right)=\lim_{n\rightarrow \infty}b_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{4n+1}=\frac{1}{4}$ .

Όμως $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{b_{i}^{-1}} \right)=\lim_{n\rightarrow \infty}b_{n+1}^{-1}=4$ άρα $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{b_{i}^{-1}}}}=\frac{1}{4}$ .

Από ΑΜ-ΓΜ όμως $\displaystyle \frac{n}{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{b_{i}^{-1}}}}\leqslant \left({\prod_{i=1}^{n}{b_{i}}} \right)^{1/n} \leqslant \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{b_{i}}$ .

Από ισοσυγκλίνουσες προκύπτει: $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left({\prod_{i=1}^{n}{b_{i}}} \right)^{1/n}= \frac{1}{4}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 05, 2011 8:40 pm**

Κώστα , χαίρομαι ιδιαίτερα που δίνεις δεύτερη λύση στο θέμα.Μια λύση που δε σκέφτηκα , γιατί ήμουν πάντα ευχαριστημένος με τη λύση που είχα δώσει τότε.Σε ευχαριστώ..

mathematica.gr

ΑΠΟ ΤΟ ΠΑΛΙΟ ΑΡΧΕΙΟ

ΑΠΟ ΤΟ ΠΑΛΙΟ ΑΡΧΕΙΟ

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΠΑΛΙΟ ΑΡΧΕΙΟ

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΠΑΛΙΟ ΑΡΧΕΙΟ

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΠΑΛΙΟ ΑΡΧΕΙΟ

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΠΑΛΙΟ ΑΡΧΕΙΟ