mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 06, 2011 12:41 pm**

Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f(x+f(y))=f(x)+\sin y ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R};$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 06, 2011 3:58 pm**

Θέτουμε

και έχουμε $f[f(y)] = f(0) + \sin y$ , οπότε το $f[f( \mathbb{R} )]$ είναι φραγμένο.

Αλλά για κάθε $x \in f (\mathbb{R})$ ισχύει $[x-1, x+1] \subseteq f( \mathbb{R})$ αφού το $\sin y$ παίρνει όλες τις τιμές στο [-1, 1]

. Αρα $f( \mathbb{R} ) = \mathbb{R}$ και $f[f( \mathbb{R} )] = \mathbb{R}$ , οπότε έχουμε άτοπο. Κατά συνέπεια, η

δεν υπάρχει.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 06, 2011 4:09 pm**

Επανέρχομαι για εξιλέωση αφού όποιος βιάζεται,συνήθως σκοντάφτει...
Ευχαριστώ το Δημήτρη(dement) και το Θάνο για το...σκούντηγμα!
Παρομοίως με την προηγούμενη προσπάθεια:
Για $\displaystyle{ x \to 0,y \to 0 }$ προκύπτει $\displaystyle{ f(f(0)) = f(0):(1) }$
Για $\displaystyle{ x \to 0,y \to f(y) \in R }$ έχω:
$\displaystyle{ f(f(f(y))) = f(0) + \sin f(y),\forall y \in R }$
Θέτοντας $\displaystyle{ y \to 0 }$ έχουμε $\displaystyle{ }$ $\displaystyle{ f(f(f(0))) = f(0) + \sin f(0)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} f(f(0)) = f(0) + \sin f(0)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \sin f(0) = 0 \Rightarrow f(0) = k\pi ,k \in Z }$
(εδώ ήταν και το λογικό μου λάθος.Είναι για κάποιον ακέραιο και όχι για κάθε).
Πάμε παρακάτω...
Για $\displaystyle{ x \to 0 }$ έχω τώρα:
$\displaystyle{ f(f(y)) = k\pi + \sin y,\forall y \in R:(2) }$
και για $\displaystyle{ y \to 0 }$ λαμβάνω
$\displaystyle{ f(x + k\pi ) = f(x),\forall x \in R }$ ή και

$\displaystyle{ f(f(x + k\pi )) = f(f(x))\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} k\pi + \sin (x + k\pi ) = k\pi + \sin x,\forall x \in R \Rightarrow \sin (x + k\pi ) = \sin x,\forall x \in R }$ για κάποιο $\displaystyle{ k \in Z }$
Άτοπο για περιττά $\displaystyle{ k }$

Επομένως δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση για περιττά $\displaystyle{ k }$
Απέσυρα ξανά τη λύση αφού στο τέλος εμφανίστηκε αυτή η απλή λεπτομέρεια..
Τώρα σταματάω την ενασχόληση λόγω διαβάσματος.Όποιος μπορεί ας συνεχίσει.
Θα επανέλθω κι εγώ όταν μπορέσω.

mathematica.gr

Υπάρχει συνάρτηση;

Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;