mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 07, 2011 3:46 am**

Έστω τρίγωνο ABC

με γωνίες

και

.
Επί της πλευράς

λαμβάνουμε σημείο

τέτοιο ώστε BE=AC

και

. Βρείτε τον αριθμό των μοιρών που εκφράζει το

.

: ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 30.PNG (18.08 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 07, 2011 10:13 am**

καλημέρα με τριγωνομετρία
---------------------------------
AB=c,~~ AC=b

$\displaystyle{\vartriangle ABC\rightarrow \frac{c}{\sin 2x}=\frac{b}{\sin 3x},~~(1)}$

$\displaystyle{\vartriangle ABE\rightarrow \frac{c}{\sin 4x}=\frac{b}{\sin 7x},~~(2)}$

$\displaystyle{(1),(2)\stackrel{(:),sin 4x=2\sin 2x~\cos 2x}\longrightarrow \sin 7x=2\sin 3x~ \cos 2x\Rightarrow \sin 7x=\sin 5x+\sin x\Rightarrow }$

$\displaystyle{\sin x=\sin 7x-\sin 5x\Rightarrow \sin x=2\sin x~\cos 6x\Rightarrow \cos 6x=\frac{1}{2}\Rightarrow \boxed{x=10^o}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 07, 2011 1:34 pm**

: Γεωμετρείν-30.png (12.71 KiB) Προβλήθηκε 524 φορές

Καλησπέρα Φωτεινή και Δημήτρη. Μια γεωμετρική λύση.

Το τρίγωνο EAC

είναι ισοσκελές, οπότε $E\widehat CA = E\widehat AC = 2x$ και $A\widehat EB = 4x$ (σαν εξωτερική γωνία του τριγώνου EAC

). Από το μέσο

του

φέρω κάθετη προς αυτό, η οποία τέμνει τη διχοτόμο της $A\widehat EB$ στο

και την

στο

.

Τα ορθογώνια τρίγωνα ZED,ZBD

καθώς και τα KED,KBD

είναι ίσα (κάθετες πλευρές αντίστοιχα ίσες). Το τρίγωνο ZBE

είναι ισοσκελές και ίσο με το EAC

από $\Gamma - \Pi - \Gamma$ ( ZB = ZE = EA = EC

) και το τρίγωνο KBE

ισοσκελές ( KB = KE

).

Τα τρίγωνα KEZ,KBZ

είναι ίσα από $\Pi - \Pi - \Pi$ και θα ισχύει $K\widehat BZ = 3x - 2x = x\mathop = \limits^{\iota \sigma .\tau \rho \iota \gamma \omega \nu .} K\widehat EZ\mathop = \limits^{4x - 3x} A\widehat EK$ . Τα τρίγωνα KEA,KEZ