mathematica.gr • Κλασσική!

Σελίδα 1 από 1

Κλασσική!

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 13, 2011 1:09 pm

από socrates

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x)f(yf(x)-1)=x^{2}f(y)-f(x) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Re: Κλασσική!

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 13, 2011 7:23 pm

από Παναγιώτης 1729

Αναζητούμε λύσεις πέρα από την προφανή μηδενική συνάρτηση.

Έστω ότι το f(0)

f(0)

δεν είναι μηδέν. Τότε για x=y=0

x=y=0

έχω

f(0)(f(-1)+1)=0

, άρα

f(-1)=-1

. Για

x=1,y=-1

έχω

f(0)=0

, άτοπο.
Άρα, f(0)=0

f(0)=0

.

Έστω y=-1,x=x_0

y=-1,x=x_0

με το

f(x_0)

να μην είναι μηδέν. Τότε παίρνουμε 0=(1+f(-1))f(x_0)

0=(1+f(-1))f(x_0)

, άρα

f(-1)=-1

.
Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι η f έχει μοναδική ρίζα.
Για $y=\frac{1}{f(x)}$ έχω (ο x δεν είναι μηδέν): $\displaystyle f(\frac{1}{f(x)})=\frac{f(x)}{x^2}$ . Έστω ότι για δύο διαφορετικούς a,b f(a)=f(b)

f(a)=f(b)

. Προφανώς a+b=0

a+b=0

και $ab\neq0$ . Για x=x_0,y=a

x=x_0,y=a

,

x=x_0,y=b=-a

η αρχική δίνει f(af(x_0)-1)=f(-af(x_0)-1)

f(af(x_0)-1)=f(-af(x_0)-1)

, άτοπο. Άρα, η

είναι 1-1.

Είναι $\displaystyle f(\frac{1}{f(1)})=f(1)$ , άρα f(1)=1

f(1)=1

. Για

x=1

στην αρχική έχω: f(y)-1=f(y-1)

f(y)-1=f(y-1)

. Η αρχική γράφεται f(x)f(yf(x))=x^2f(y)

f(x)f(yf(x))=x^2f(y)

. Η τελευταία για $x=y\neq0$ δίνει x^2=f(xf(x))

x^2=f(xf(x))

.
Ακόμη,

f(x)f(f(x))=x^2

.
Για

το

x+1

(μετά τις πράξεις) έχω f(x)+f(f(x))=2x

f(x)+f(f(x))=2x

(

f(x+1)=f(x)+1

).
Οι δύο τελευταίες δίνουν f(x)=f(f(x))=x

f(x)=f(f(x))=x

.

Re: Κλασσική!

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 27, 2012 10:37 pm

από socrates

Δείτε και http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=475349