mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 13, 2011 1:22 pm**

Μια καλή ασκησούλα πάνω στην μονοτονία της a^x

και των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Αν $0<x<\frac{\pi}{4}$ , τότε βάλτε σε φθίνουσα σειρά τα παρακάτω:

$a=(\varepsilon \phi x)^{\varepsilon \phi x}$

$b=(\varepsilon \phi x)^{\sigma \phi x}$

$c=(\sigma \phi x)^{\varepsilon \phi x}$

$d=(\sigma \phi x)^{\sigma \phi x}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 17, 2011 8:19 pm**

PanosG έγραψε:Μια καλή ασκησούλα πάνω στην μονοτονία της και των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Αν $0<x<\frac{\pi}{4}$ , τότε βάλτε σε φθίνουσα σειρά τα παρακάτω:

$a=(\varepsilon \phi x)^{\varepsilon \phi x}$

$b=(\varepsilon \phi x)^{\sigma \phi x}$

$c=(\sigma \phi x)^{\varepsilon \phi x}$

$d=(\sigma \phi x)^{\sigma \phi x}$

Για λόγους συντομίας στη γραφή

εφαπτομένη=tan και συνεφαπτομένη=cot

Έχουμε $0<tanx<1 \Rightarrow ln(tanx)<0 \wedge cotx>1 \Rightarrow ln(cotx)>0$ , συνεπώς

$tanx \cdot ln(cotx) > tanx \cdot ln(tanx)$

$\Rightarrow ln\left(\left(cotx\right)^{tanx}\right)>ln\left(\left(tanx\right)^{tanx}\right)$

$\Rightarrow c>a$

Μετά

$tan^2x<1 \Rightarrow tan^2x\cdot ln(tanx)>ln(tanx)$

$\Rightarrow tanx \cdot ln(tanx) > cotx \cdot ln(tanx)$

$\Rightarrow ln\left(\left(tanx\right)^{tanx}\right)>ln\left(\left(tanx\right)^{cotx}\right)$

a>b

Τέλος

$cotx>1 \Rightarrow cot^2x>1 \wedge ln(cotx)>0$ , άρα

$cot^2x \cdot ln\left(cotx\right)> ln\left(cotx\right) \Rightarrow cotx \cdot ln(cotx) > \frac {1}{cotx} \cdot ln(cotx)$

$\Rightarrow ln\left(\left(cotx\right)^{cotx}\right)> ln\left(\left(cotx\right)^{tanx}\right)$

$\Rightarrow d>c$ , δηλαδή

b<a<c<d

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 18, 2011 10:03 am**

Μετά την πολύ ωραία απόδειξη του Σπύρου, απλώς δίνω τις γραφικές παραστάσεις στο $\displaystyle{\left(0,\frac{\pi}{2}\right)}$ . To σημείο τομής όλων έχει τετμημένη $\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$ .

mathematica.gr

Βάλτε σε φθίνουσα σειρά

Βάλτε σε φθίνουσα σειρά

Re: Βάλτε σε φθίνουσα σειρά

Re: Βάλτε σε φθίνουσα σειρά