mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 13, 2011 2:31 pm**

Έστω $f :\mathbb{ R} \to \mathbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε $\displaystyle f(x) \leq f\left(x +\frac{1}{n}\right),$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$
Να αποδείξετε ότι η

είναι μη φθίνουσα.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 13, 2011 3:02 pm**

socrates έγραψε:Έστω $f :\mathbb{ R} \to \mathbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε $\displaystyle f(x) \leq f\left(x +\frac{1}{n}\right),$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$
Να αποδείξετε ότι η είναι μη φθίνουσα.

Έστω

. Θεωρούμε οποιαδήποτε ακολουθία $\displaystyle \left (\frac {p_n}{q_n}\right)$ θετικών ρητών με $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac {p_n}{q_n} = y-x$ . Έχουμε $\displaystyle f(x) \le f\left(x + \frac {1}{q_n} \right) \le f\left(x + \frac {2}{q_n} \right) \le ... \le f\left(x + \frac {p_n}{q_n} \right)$ . Παίνοντας όριο της $\displaystyle f(x) \le f\left(x + \frac {p_n}{q_n} \right)$ έχουμε, λόγω συνέχειας, $\displaystyle f(x) \le f\left(x + y-x \right)= f(y)$ , όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ. Ας προσθέσω

α) Αν είχαμε, επιπλέον, παραγωγισιμότητα τότε μια πιο εύκολη απόδειξη θα ήταν μέσω του $f{'}(x) = \lim \frac {f \left (x + \frac{1}{n} \right)- f(x)} {1/n}\ge 0$ , άρα

αύξουσα.

β) Χωρίς την υπόθεση της συνέχειας δεν αποδεικνύεται το ζητούμενο όπως δείχνει το παράδειγμα $f(x) = \begin{cases} 1& \text{ if } x \in \mathbb Q \\ 0& \text{ if } x \not \in \mathbb Q \end{cases}$

mathematica.gr

Μη φθίνουσα

Μη φθίνουσα

Re: Μη φθίνουσα