mathematica.gr • Μια συμπαθητική συναρτησιακή εξίσωση από Ν.Ζ.

Σελίδα 1 από 1

Μια συμπαθητική συναρτησιακή εξίσωση από Ν.Ζ.

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 16, 2011 1:32 am

από KDORTSI

Από Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)

Να βρείτε τον τύπο της συναρτησης
$\displaystyle{f:R\rightarrow R}$
για την οποία ισχύει:
$\displaystyle{f(sin^2x+f(y))=sin^2x+y}$
για κάθε $\displaystyle x,y\in R}$

Re: Μια συμπαθητική συναρτησιακή εξίσωση από Ν.Ζ.

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 16, 2011 2:07 am

από socrates

Έστω

f(0)=a.

Για

x:=0

είναι $f(f(y))=y \ (^*).$

Είναι $f(sin^2 x+a)=sin^2 x, \ \forall x \in \mathbb{R}$ οπότε $f(x+a)=x,\ \forall x\in [0,1]$ και συνεπώς $f(x)=x-a, \ \forall x \in [a,a+1].$

Για $\displaystyle x:=\frac{\pi}{2}, y:=f(y)$ είναι, λόγω της (^*):

(^*):

f(1+y)=1+f(y),

οπότε επαγωγικά $f(n)=n+a, \ \forall n \in \mathbb{Z}$ και $f(x+n)=n+f(x), \ \forall (x,n)\in \mathbb{R}\times \mathbb{Z}.$

Έστω

ένας πραγματικός αριθμός. Τότε υπάρχει μοναδικός ακέραιος

τέτοιος ώστε $n\leq x-a<n+1.$

Επομένως, f(x)=f(x-n+n)=n+f(x-n)=n+x-n-a=x-a,

f(x)=f(x-n+n)=n+f(x-n)=n+x-n-a=x-a,

αφού $a\leq x-n<a+1.$

Ο

είναι αυθαίρετος, άρα $f(x)=x-a, \forall x \in \mathbb{R}$ και αντικαθιστώντας $f(x)=x, \ \forall x \in \mathbb{R}.$

Re: Μια συμπαθητική συναρτησιακή εξίσωση από Ν.Ζ.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Σεπ 17, 2011 2:49 am

από nikoszan

Θαναση,πολυ ωραια λυση.Ευχαριστω για το χρονο που διεθεσες .
Ν.Ζ.