mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 16, 2011 6:46 pm**

Έστω συνάρτηση $f: \mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*$ τέτοια ώστε
$\bullet f(n+f(n))=f(n),$ για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$
$\bullet$ υπάρχει n_0

τέτοιος ώστε f(n_0)=1.

Δείξτε ότι $f\equiv 1.$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 16, 2011 7:18 pm**

socrates έγραψε:Έστω συνάρτηση $f: \mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*$ τέτοια ώστε
$\bullet f(n+f(n))=f(n),$ για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$
$\bullet$ υπάρχει τέτοιος ώστε

Δείξτε ότι $f\equiv 1.$

Η

δίνει από την δοθείσα f(n_0+1)=1

και επαγωγικά $f(n)=1 , \forall n \ge n_0$ (*).

Έστω τώρα f(c)>1

για κάποιο $c\in \mathbb N^*$ . Θέτουμε c_1 = c

και $c_{k+1} = c_k+f(c_k)$ (**). H δοθείσα σχέση δίνει f(c_1) = f(c_2)=f(c_3) = ...

. Άρα θα έχουμε άπειρους $n \in \mathbb N$ με f(n)>1

(π.χ. τους c_k

που υπόψη είναι διαφορετικοί μεταξύ τους διότι η (**) δίνει $c_{k+1} = c_k+f(c_k) > c_k$ ). Καταλήξαμε σε κάτι που αντιβαίνει στην (*). Συνεπώς όλοι οι $n \in \mathbb N$ ικανοποιούν f(n)=1

, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

mathematica.gr

Ταυτοτικά 1!

Ταυτοτικά 1!

Re: Ταυτοτικά 1!