mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 17, 2011 7:19 pm**

Από το περιοδικό ΄΄ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ''

Αν $\alpha ,\beta ,\gamma \in R$ , να αποδειχθεί η συνεπαγωγή:

$(\alpha - \beta )^3 + (\beta - \gamma )^3 + (\gamma - \alpha )^3 {\rm{ }} \ne 0 \Rightarrow {\rm{ }}\alpha \ne \beta \ne \gamma \ne \alpha$

Ας την αφήσουμε στους μαθητές (για προπόνηση) (έως 20/9).

(ευθεία απόδειξη ή απαγωγή σε άτοπο)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 18, 2011 11:35 pm**

Θα παω με ευθεια $(a-a-b+b-c+c)({a^{2}+b^{2}+c^{2}-ac-ab-bc) \ne -3(a-b)(a-c)(b-c)$
$0 \ne -3(a-b)(a-c)(b-c)$ Που για να ισχυει πρεπει $a\ne b\ne c \ne a$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 23, 2011 2:39 pm**

Δίνω πιο αναλυτική την παραπάνω ευθεία απόδειξη.

Ισχύει η συνεπαγωγή:

$(\alpha - \beta ) + (\beta - \gamma ) + (\gamma - \alpha ) = 0{\rm{ }} \Rightarrow (\alpha - \beta )^3 + (\beta - \gamma )^3 + (\gamma - \alpha )^3 = 3(\alpha - \beta )(\beta - \gamma )(\gamma - \alpha )$

Οπότε:

$(\alpha - \beta )^3 + (\beta - \gamma )^3 + (\gamma - \alpha )^3 \ne 0{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}(\alpha - \beta )(\beta - \gamma )(\gamma - \alpha ) \ne 0{\rm{ }} \Rightarrow \alpha \ne \beta \ne \gamma \ne \alpha$

Με άτοπο:

Έστω $\alpha = \beta$ . Τοτε έχουμε:

$(\beta - \gamma )^3 + (\gamma - \alpha )^3 \ne 0{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}(\beta - \gamma )^3 \ne - (\gamma - \alpha )^3 {\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }} - \gamma \ne - \gamma$

που είναι άτοπο. Άρα $\alpha \ne \beta$ .

Με όμοιο τρόπο καταλήγουμε
${\rm{ }}\beta \ne \gamma {\rm{ }}$ και ${\rm{ }}\gamma \ne \alpha$

mathematica.gr

Μαθηματική Λογική

Μαθηματική Λογική

Re: Μαθηματική Λογική

Re: Μαθηματική Λογική