mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 18, 2011 3:17 am**

Έστω $f:\mathbb{Z}\rightarrow\{ 1,2,\ldots ,n\}$ συνάρτηση τέτοια ώστε $f(x)\not= f(y) ,$ για κάθε $x,y\in\mathbb{Z}$ με $|x-y|\in\{2,3,5\} .$
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 18, 2011 3:35 pm**

Με

θα συμβολίζω το υπόλοιπο της διαίρεσης του

με το

.
Η συνάρτηση g(x)=u(x)+1

ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος και έχει σύνολο τιμών το σύνολο {1,2,3,4}

. Άρα, $n\leq{4}$ .
Ακόμη $f(1)\neq{f(3)}\neq{f(6)}\neq{f(1)}$ , άρα $\geq{3}$ . Έτσι, $n\in \{3,4\}$ .
Έστω ότι n=3

. Τότε οι πρέπει f(a)=f(a+1)

(δηλαδή η συνάρτηση είναι σταθερή,άτοπο), διότι οι αριθμοί f(a-2),f(a),f(a+3)

και

είναι διαφορετικοί μεταξύ τους ανά δύο και $|f(\mathbb Z)|=3$ .
Άρα, n=4

.

mathematica.gr

Ελάχιστη τιμή του n

Ελάχιστη τιμή του n

Re: Ελάχιστη τιμή του n