mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 24, 2011 7:22 pm**

Έστω $\Box$ μια προσεταιριστική πράξη στους θετικούς ακεραίους.

Να δείξετε ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι a,b

τέτοιοι ώστε $1 \Box a \Box a \Box b \Box b\Box b\ne a+b.$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 26, 2011 1:12 pm**

Εστω ότι ισχύει η ισότητα για κάθε $a, b \in \mathbb{N}^*$ . Στο εξής, όταν χρησιμοποιώ τα συνήθη πολλαπλασιαστικά σύμβολα θα εννοώ την $\Box$ και όχι τον πολλαπλασιασμό (για τον οποίο θα χρησιμοποιήσω $\times$ ).

Θέτοντας a=1

έχουμε

. Για

παίρνουμε

.

Θέτοντας a = 1^2

έχουμε

1^5 b^3 = 1^2 1^3 b^3 = 1^2 (1+b) = 1^2 + b = (1^2 - 1) + (1 + b)

. Δηλαδή, για κάθε n > 1

, ισχύει

.

Από τις δύο περιπτώσεις του $\{ a, b \} = \{ 1, 2 \}$ έχουμε $1^{21} = 3 = 1^{16}$ και, 'τετραγωνίζοντας', έχουμε $1^{32} = 1^{42}$ .

Ετσι $1^{32} n = 16 \times (1^2 - 1) + n$ και $1^{42} n = 21 \times (1^2 - 1) + n$ για κάθε n > 1

. Αφού $1^{32} = 1^{42}$ , τότε $1^2 - 1 = 0 \implies 1^2 = 1 \implies 2 = 1^6 = 1$ και έχουμε άτοπο.

mathematica.gr

Ιδιότητα προσεταιριστικής πράξης

Ιδιότητα προσεταιριστικής πράξης

Re: Ιδιότητα προσεταιριστικής πράξης