mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 28, 2011 3:18 pm**

Έστω $\Box : \mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ μια πράξη που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

(α) $(a\Box b)+c=(b+c)\Box (a+c) \ \ \forall a,b,c \in \mathbb{R}$

(β) $0\Box(a+b)=(0\Box a)+(0\Box b) \ \ \ \ \forall a,b \in \mathbb{R}$

Nα βρείτε την $\Box.$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 28, 2011 7:42 pm**

socrates έγραψε:Έστω $\Box : \mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ μια πράξη που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

(α) $(a\Box b)+c=(b+c)\Box (a+c) \ \ \forall a,b,c \in \mathbb{R}$

(β) $0\Box(a+b)=(0\Box a)+(0\Box b) \ \ \ \ \forall a,b \in \mathbb{R}$

Nα βρείτε την $\Box.$

Η (α) για

δίνει $a \Box b= b \Box a$ (αντιμεταθετική πράξη)

Η (β) για b=a

δίνει $0 \Box (2a)=2\left(0 \Box a\right)$ και για a=0

έχουμε $0 \Box 0=0$

Η (β) για b=-a

δίνει $0=\left(0 \Box a\right)+ \left(0 \Box(-a)\right) \Rightarrow 0\Box (-a)=-(0\Box a)$

Η (α) για b=0

δίνει $(a\Box 0)+c=c \Box (a+c)$ και για a=-c

έχουμε

$\left((-c)\Box 0\right)+c=c \Box 0 \Rightarrow c \Box 0= \frac {c}{2}$

Άρα

$a \Box b= a \Box (a+b-a)=(a+0) \Box (a+b-a)=a +(0 \Box (b-a))=a+ \frac {b-a}{2}=\frac {a+b}{2}$

mathematica.gr

Απλή πράξη

Απλή πράξη

Re: Απλή πράξη