mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 30, 2011 12:20 am**

Δίνεται ο μιγαδικός $z=a+bi \quad a,b\in \mathbb{R}$ με |z|=2

. Έστω η συνάρτηση $f(x)=|x+z| \quad x \in \mathbb{R}$ , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$
Να δείξετε ότι

α) ο μιγαδικός

δεν είναι πραγματικός

β) η εξίσωση |x+z|=3^x

έχι τουλάχιστον μια ρίζα στο (0,1)

Θα αναφέρω αργότερα την πηγή

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 30, 2011 12:34 am**

Ωραία άσκηση!

α) Έστω ότι $z=a\in \mathbb R$ . Τότε $\displaystyle{f(x)=|x+a|=\begin{cases}x+a,~x\geq -a \\ -x-a,~x< -a \end{cases}}$ , η οποία

(με χρήση του ορισμού της παραγώγου δεξιά και αριστερά του

) προκύπτει μη παραγωγίσιμη, άτοπο από υπόθεση. Άρα, ο

δεν είναι πραγματικός.

β) Θεωρώ τη συνάρτηση $g(x)=|x+z|-3^x,~x\in \mathbb R$ η οποία είναι συνεχής στο [0,1]

ως διαφορά παραγωγίσιμων. Επιπλέον, έχουμε:

f(0)=|z|-3^0=2-1=1>0

και $f(1)=|1+z|-3^1\color{red}<\color{black} |1|+|z|-3=0$ (ισχύει αυστηρή ανισότητα αφού ο

δεν είναι πραγματικός).

Άρα, από το Θ. Bolzano, η g(x)=0

(άρα και η ισοδύναμη δοσμένη) έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0,1)

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 30, 2011 12:36 am**

α) Έστω ότι ο

είναι πραγματικός.
Τότε b=0

και

, όπου
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -a^+}\frac{f(x)-f(-a)}{x+a}=1\neq\lim_{x \rightarrow -a^-}\frac{f(x)-f(-a)}{x+a}=-1}$ , ΑΤΟΠΟ,
άρα ο

δεν είναι πραγματικός.

β) Έχουμε: |z|^2=a^2+b^2=4

και

, αφού από το (α) ερώτημα $b \neq 0$ ,
$\displaystyle{f(x)=\sqrt{(x+a)^2+b^2}=\sqrt{x^2+2ax+a^2+b^2}=\sqrt{x^2+2ax+4}$ .
Έστω $g(x)=f(x)-3^x, x \in \mathbb{R}$ .

H

είναι συνεχής στο [0,1]