mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 07, 2011 7:08 pm**

Οι κύκλοι $(O , \rho)$ και (K , R)

, τέμνονται ορθογωνίως στο σημείο

Από το

διέρχεται ευθεία , που αποκόπτει στους δύο κύκλους , τις χορδές SA , SB

Δείξτε ότι : $SA{\cdot}SB\leq 2R\rho$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 07, 2011 8:24 pm**

Με χρήση τριγωνομετρίας:

Ας ονομάσουμε $\displaystyle{\hat{AOS}=x,\hat{SKB}=y.}$
Είναι εύκολο να δούμε, ότι ισχύει $\displaystyle{x+y=\pi.}$
Πράγματι,

$\displaystyle{x+y=\pi-2\hat{ASO}+\pi -2\hat{BSK}=2\pi -2\Big(\pi -\frac{\pi}{2}\Big)=\pi.}$

Ακόμα, βλέπουμε ότι $\displaystyle{SA=2r\sin \frac{x}{2}}$ και $\displaystyle{SB=2R\sin \frac{y}{2}}$ (π.χ.φέροντας τα ύψη-διχοτόμους στα ισοσκελή τρίγωνα $\displaystyle{ASO,SBK}$ ).

Άρα,

$\displaystyle{SA\cdot SB=4Rr\sin \frac{x}{2}\sin \frac{y}{2}\leq 4Rr\sin ^2 \frac{x+y}{4}=4Rr\sin ^2 \frac{\pi}{4}=2Rr.}$

** Έγινε χρήση της ανισότητας

$\displaystyle{\sin x\sin y\leq \sin ^2 \frac{x+y}{2}.}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 07, 2011 10:37 pm**

Γεωμετρικά:

Ας ασχοληθούμε με την περίπτωση SA<SB,

αφού και η άλλη περίπτωση αντιμετωπίζεται ομοίως.
Έστω

το μέσον του AB.

Είναι σαφές ότι τα σημεία S,O,F,K,M

είναι ομοκυκλικά σε κύκλο διαμέτρου

, αφού
$\begin{array}{*{20}c} {\angle SMF = \angle SKF = 2\angle SBF = \angle SKF.\;{\rm A}\nu \;M{'} \in SF\;\mu \varepsilon \;MM{'} \bot SF \Rightarrow SA \cdot SB = } \\ {MF^2 - MS^2 = 4SP \cdot PM{'} \leqslant 4SP \cdot QA\mathop = \limits^{(*)} 4SP\frac{{OK}} {2} = 2SP \cdot OK = 2\rho R,\;\dot o\tau \alpha \nu \;AQ\parallel SP,} \\ \end{array}$
με το

μέσο του

, καθότι έχουμε:
$\vartriangle SOP \sim \vartriangle SOK \Rightarrow \frac{{OK}} {R} = \frac{\rho } {{SP}} \Rightarrow OK \cdot SP = \rho R.$

(*) Κάτω σχήμα.

S.E.Louridas

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 07, 2011 10:47 pm**

KARKAR έγραψε:Οι κύκλοι $(O , \rho)$ και , τέμνονται ορθογωνίως στο σημείο

Από το διέρχεται ευθεία , που αποκόπτει στους δύο κύκλους , τις χορδές

Δείξτε ότι : $SA{\cdot}SB\leq 2R\rho$

Μετά την καταπληκτική λύση (αμιγώς γεωμετρική) του Σωτήρη μόνο για να δείξω την παρουσία μου ας γράψω κάτι (παντρεμένο) με λίγο "απαγορευμένη" τριγωνομετρία

Αν $\displaystyle{ N,L }$ είναι τα αντιδιαμετρικά του $\displaystyle{ S }$ ως προς τους κύκλους $\displaystyle{ \left( O \right),\left( K \right) }$ αντίστοιχα τότε από τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{ \vartriangle NAS,\;\vartriangle LBS }$ έχουμε:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} SA = SN \cdot \sigma \upsilon \nu \phi \hfill \\ SB = SL \cdot \sigma \upsilon \nu \omega \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( \cdot \right)} SA \cdot SB = SN \cdot SL \cdot \sigma \upsilon \nu \phi \sigma \upsilon \nu \omega \mathop \Rightarrow \limits^{SN = 2\rho ,SL = 2R,\phi + \omega = \frac{\pi } {2} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \omega = \eta \mu \phi } }$

$\displaystyle{ SA \cdot SB = 4\rho R\eta \mu \phi \sigma \upsilon \nu \phi \mathop \Rightarrow \limits^{2\eta \mu \phi \sigma \upsilon \nu \phi = \eta \mu 2\phi } SA \cdot SB = 2\rho R\eta \mu 2\phi \mathop \Rightarrow \limits^{0 \leqslant 2\phi < \pi \to 0 \leqslant \eta \mu 2\phi \leqslant 1} \boxed{SA \cdot SB \leqslant 2\rho R} }$

Στάθης

mathematica.gr

Μέγιστο γινόμενο

Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο