mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 11, 2011 12:03 pm**

Ας είναι $\displaystyle{x,y,z>0}$ με $\displaystyle{z=\max \{x,y,z\}.}$
Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}\geq \sqrt{\frac{x+y}{z}}.}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 13, 2011 12:58 am**

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{xy(x+y+2z)}{z(z+x)(z+y)}=\frac{x+y}{z}$ .
Υψώνοντας στο τετράγωνο τη δοθείσα αρκεί να αποδείξουμε ότι $4z^2(z+x)(z+y) \geq xy(x+y+2z)^2$
Όμως ισχύει ότι $z(z+x)(z+y) \geq xy(x+y+2z)$ αφού ισοδύναμα γράφεται $z^2(x+y+z) \geq xy(x+y+z)$ .
Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι $4z \geq x+y+2z$ , που ισχύει.

mathematica.gr

Μια ωραία ανισότητα από τον Ji Chen!

Μια ωραία ανισότητα από τον Ji Chen!

Re: Μια ωραία ανισότητα από τον Ji Chen!