mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2011 11:45 pm**

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε y^2f(x) + f(xy^2) = 2yf(xy) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 17, 2011 1:02 pm**

Εύκολα διαπιστώνουμε (θέτοντας

όπου

) ότι η

είναι περιττή.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $g \equiv e^{-x} \cdot \left( f \circ e^x \right)$ για την οποία η σχέση γίνεται $\displaystyle g \left( \frac{a + b}{2} \right) = \frac{g(a) + g(b)}{2}$ για κάθε $a, b \in \mathbb{R}$ . Αφού η

είναι συνεχής, θα ισχύει g(x) = mx + n

, οπότε ο περιορισμός της

στους θετικούς θα είναι $f(x) = mx \ln x + nx$ . Μαζί με το περιττό και τη συνέχεια, έχουμε ως λύση την $f(x) = m x \ln |x| + n x \ (m, n \in \mathbb{R})$ με f(0) = 0

που επαληθεύεται.

mathematica.gr

Είναι συνεχής!

Είναι συνεχής!

Re: Είναι συνεχής!