mathematica.gr • Συναρτησιακή με συνεχή συνάρτηση

Σελίδα 1 από 1

Συναρτησιακή με συνεχή συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 17, 2011 4:03 pm

από socrates

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $2^{y+1}f(x)+2^{x+1}f(y) = f(x+y)+4^yf(x-y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Re: Συναρτησιακή με συνεχή συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 17, 2011 5:04 pm

από Παύλος Μαραγκουδάκης

Θέτουμε $\displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{2^x}}$ . Τότε η

είναι συνεχής και 2g(x)+2g(y) = g(x+y)+g(x-y) ,

2g(x)+2g(y) = g(x+y)+g(x-y) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
Για x=y=0

x=y=0

προκύπτει

g(0)=0

.
Για

x=y

προκύπτει

g(2x)=4g(x).

Για

y=-x

παίρνουμε

g(-x)=g(x),

δηλαδή η

είναι άρτια.
Έστω

θετικός ακέραιος. Θα δείξουμε ότι g(mx)=m^2g(x)

g(mx)=m^2g(x)

για κάθε θετικό ακέραιο

με $m\leq n$ και κάθε

πραγματικό.
Για n=1

n=1

προφανώς ισχύει.
Αν ισχύει για κάποιον

θετικό ακέραιο θα δείξουμε ότι ισχύει και για τον n+1.

n+1.

Είναι

2g(nx)+2g(x)=g((n+1)x)+g((n-1)x)

οπότε $g((n+1)x)=\left(n+1 \right)^2g(x)$ .
Αν τώρα

θετικός ακέραιος, θα είναι $\displaystyle{m^2g(\frac{n}{m}x)=g(nx)=n^2g(x)}.$
Άρα g(rx)=r^2g(x)

g(rx)=r^2g(x)

για κάθε

θετικό ρητό. Λόγω συνέχειας και επειδή είναι η

είναι άρτια θα ισχύει για κάθε

πραγματικό.
Για x=1

x=1

προκύπτει

g(r)=ar^2

για κάθε

πραγματικό όπου a=g(1).

a=g(1).

Άρα

f(x)=a2^xx^2.

Όλες αυτές επαληθεύουν την αρχική.