Μία με άρρητους αριθμούς(Α-ΛΥΚ-ΑΛΓ)
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 09, 2009 12:40 am
Να αποδειχθεί ότι η κυβική ρίζα κάθε θετικού άρρητου αριθμού είναι επίσης αριθμός άρρητος.
Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα για τον κύβο ενός άρρητου αριθμού;
Μαυρογιάννης
_________________________________________________________________________________
Έως 22 Ιουλίου 2009, A ΛΥΚΕΙΟΥ, ΑΛΓΕΒΡΑ
_________________________________________________________________________________
Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα για τον κύβο ενός άρρητου αριθμού;
Μαυρογιάννης
_________________________________________________________________________________
Έως 22 Ιουλίου 2009, A ΛΥΚΕΙΟΥ, ΑΛΓΕΒΡΑ
_________________________________________________________________________________
![\chi =\sqrt[3]{\psi }](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/447edafaf86cb759174b0c0284697d22.png "\chi =\sqrt[3]{\psi }")
όπου ο ψ είναι άρρητος άρα ![\chi =\sqrt[3]{\sqrt{\alpha }}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/74e8c5eb8f86faab0c8e9dde9c15bd78.png "\chi =\sqrt[3]{\sqrt{\alpha }}")
όπου ![\sqrt[3]{\sqrt{\alpha }}=\sqrt{\beta }](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/fb8d086a7d8cbc4a3bdc8fb144b2ff31.png "\sqrt[3]{\sqrt{\alpha }}=\sqrt{\beta }")
και 
Ν άρα ![\sqrt[3]{\sqrt{\alpha }}=\sqrt{\beta }\Leftrightarrow \sqrt{\sqrt[3]{\alpha }}=\sqrt{\beta }\Leftrightarrow \sqrt[3]{\alpha }=\beta](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e90475b91575ccf2ff9817d5b728a827.png "\sqrt[3]{\sqrt{\alpha }}=\sqrt{\beta }\Leftrightarrow \sqrt{\sqrt[3]{\alpha }}=\sqrt{\beta }\Leftrightarrow \sqrt[3]{\alpha }=\beta")
. 
άρα είναι άρρητος...![\displaystyle{\displaystyle \sqrt[3]{a} = \frac{k}{l} \Rightarrow a = {\left( {\frac{k}{l}} \right)^3} \Rightarrow a = \frac{{{k^3}}}{{{l^3}}} = \frac{m}{n}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a425aeeb5572bd173d8def9fa41bcb5d.png "\displaystyle{\displaystyle \sqrt[3]{a} = \frac{k}{l} \Rightarrow a = {\left( {\frac{k}{l}} \right)^3} \Rightarrow a = \frac{{{k^3}}}{{{l^3}}} = \frac{m}{n}}")
, δηλαδή α= ρητός, άτοπο.![\displaystyle{\displaystyle {\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^3} = 2}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f3aa9bab038f3dfa89cc2b55e44105b1.png "\displaystyle{\displaystyle {\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^3} = 2}")
.