mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 04, 2011 3:10 pm**

Σε κύκλο ακτίνας

, δύο διαδοχικές χορδές BA , AC

, έχουν μήκη

και

αντίστοιχα .

Υπολογίστε το μήκος της χορδής

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 04, 2011 4:14 pm**

: Ας-χορδίσουμε.png (12.76 KiB) Προβλήθηκε 472 φορές

Φέρω τη διάμετρο

και από Πυθαγόρειο στα BAD,BCD

προκύπτει αντίστοιχα $AD = 2\sqrt {51}$ και $CD = \sqrt {400 - {x^2}}$ , για BC = x

. Από ${1^o}$ θεώρημα Πτολεμαίου στο εγγεγραμμένο ABDC

παίρνουμε: $14 \cdot \sqrt {400 - {x^2}} + 20 \cdot 12 = 2\sqrt {51} x \Rightarrow \ldots \Rightarrow x = \displaystyle\frac{{6\sqrt {51} + 56}}{5}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 04, 2011 4:56 pm**

Μιας και την ξεκίνησα, ας δώσω μια λύση με πολλές πράξεις...

Αν O{'}

η επίκεντρη που αντιστοιχεί στο μη κυρτογώνιο τόξο BOC

, έχουμε $\displaystyle{\hat{A}=\frac{1}{2}O{'}\Leftrightarrow \hat{A}=\frac{1}{2}(360^{o}-\omega)\Leftrightarrow \omega =360^{o}-2A}$ .

Άρα, $cos \omega=cos 2A=2 cos^2 A-1$ (1). Από το νόμο των Συνημιτόνων στα τρίγωνα ABC,BOC

έχουμε:

$BC^2=14^2+12^2-2\cdot 14\cdot 12 cos A\Leftrightarrow BC^2=340-336 cosA$ (2) και

$\displaystyle{BC^2=10^2+10^2-2\cdot 10\cdot 10 cos \omega\Leftrightarrow BC^2=200-200 cos\omega \overset{(1)}\Leftrightarrow BC^2=200-200 (2cos^2A-1)\Leftrightarrow BC^2=400-400cos^2A }$ (3).

Aπό τις (2), (3) έχουμε: $340-336 cosA=400-400cos^2A \Leftrightarrow 400 cos^2A-336cosA-60=0$ με (δεκτή) λύση $\displaystyle{cosA=\frac{21-4\sqrt{51}}{50}}$ .

Aντικαθιστώντας στην (1): $\displaystyle{BC^2=340-336\cdot \frac{21-4\sqrt{51}}{50}=\frac{4}{25}(1243+168\sqrt{51}) }$ άρα $\displaystyle{BC=\frac{2}{5}\sqrt{1243+168\sqrt{51}} }$ τιμή που (μετά

από πράξεις) συμφωνεί με τη λύση του Μιχάλη.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 05, 2011 10:52 am**

Και με σύστημα συντεταγμένων (η λογική απλή, οι πράξεις στριφνές...

)

: 05-11-2011 Γεωμετρία.jpg (14.59 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο O(0, 0)

παίρνουμε τo σημείo A(10, 0)

.

Στον κύκλο με εξίσωση $\displaystyle x^2 + y^2 = 100$ παίρνουμε τα σημεία $\displaystyle B\left( {x_1 ,\;y_1 } \right),\;\;C\left( {x_2 ,\;y_2 } \right)$ τέτοια ώστε $\displaystyle \left( {AB} \right) = 14,\;\;\left( {AC} \right) = 12$ , με $\displaystyle y_1 > 0,\;y_2 < 0$ ώστε οι χορδές να είναι διαδοχικές.

Τότε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x_1^2 + y_1^2 = 100 \\ \left( {x_1 - 10} \right)^2 + y_1^2 = 196 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \left\{ {x_1 = \frac{1}{5},\;\;y_1 = \frac{{7\sqrt {51} }}{5}} \right.$

και $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x_2^2 + y_2^2 = 100 \\ \left( {x_2 - 10} \right)^2 + y_2^2 = 144 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \left\{ {x_2 = \frac{{14}}{5},\;\;y_2 = - \frac{{48}}{5}} \right.$

Οπότε $\displaystyle \left( {BC} \right) = \sqrt {\left( {x_2 - x_1 } \right)^2 + \left( {y_2 - y_1 } \right)^2 } = \sqrt {\frac{{169}}{{25}} + \left( {\frac{{48 + 7\sqrt {51} }}{5}} \right)^2 } = \frac{{\sqrt {4972 + 672\sqrt {51} } }}{5}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 05, 2011 1:02 pm**

Και αλλιώς : Φέρω τα αποστήματα και : $\displaystyle\sigma \upsilon \nu \phi =\frac{7}{10}\Rightarrow \eta \mu \phi =\frac{\sqrt{51}}{10}$ ομοίως : $\displaystyle\sigma \upsilon \nu \theta=\frac{6}{10}\Rightarrow \eta \mu \theta =\frac{8}{10}$

Συνεπώς : $\displaystyle\sigma \upsilon \nu (\phi +\theta )=\frac{7}{10}\frac{6}{10}-\frac{\sqrt{51}}{10}\frac{8}{10}=\frac{21-4\sqrt{51}}{50}$ , και μετά νόμος των συνημιτόνων στο ABC

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 05, 2011 7:38 pm**

Φέρω την διάμετρο AE=20. Τότε με πυθαγόρειο θεώρημα στα τργ ACE , ABE

έχουμε αντιστοίχως
$CE=16 , BE=2\cdot \sqrt{51}.$
*** Εφαρμόζουμε Το α Θεώρημα Πτολεμαίου οπότε
$BC\cdot 20=14 \cdot 16 +12\cdot 2 \cdot \sqrt{51}$ και παίρνουμε
$BC=\frac{56+6 \cdot \sqrt{51}}{5}$

***Αν θέλουμε να αποφύγουμε το Θ. Πτολεμαίου τότε φέρω το ύψος

και έχω
$cosB=cosAEC=\frac{16}{20}$ και $\; cosC=cosAEB=\frac{2 \cdot \sqrt{51}}{20}$
οπότε $BC=BZ+ZC=AB\cdot cosB+AC\cdot cosC=\frac{56+6 \cdot \sqrt{51}}{5}$