mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 08, 2011 6:40 pm**

Ν.Δ.Ο $(x^2+1)(x^2-2x+2)\geq \frac{9}{16}$

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Διόρθωση του τίτλου.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 08, 2011 7:43 pm**

Έτσι όπως είναι η ανισότητα είναι αρκετά χαλαρή. Έχουμε $x^2 + 1 \geqslant 1$ και $x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 \geqslant 1$ και άρα $(x^2 + 1)(x^2 - 2x + 2) \geqslant 1 > 9/16$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 08, 2011 8:39 pm**

Θεωρούμε τα διανύσματα $\vec{a}=\left(x,1 \right)$ και $\vec{b}=\left(x-1,1 \right)$ ισχύει $\left|\vec{a}\cdot \vec{b} \right|\leq \left|\vec{a} \right|\cdot \left|\vec{b} \right|\Leftrightarrow {\left|\vec{a} \right|}^{2}\cdot {\left|\vec{b} \right|}^{2}\geq \left|\vec{a}\cdot \vec{b} \right|^{2}\Leftrightarrow$
$\left|\vec{a}\cdot \vec{b} \right|\leq \left|\vec{a} \right|\cdot \left|\vec{b} \right|\Leftrightarrow {\left|\vec{a} \right|}^{2}\cdot {\left|\vec{b} \right|}^{2}\geq \left|\vec{a}\cdot \vec{b} \right|^{2} \Leftrightarrow \left(x^{2}+1 \right)\cdot \left(x^{2}-2x+2 \right)\geq \left| x\left(x-1\right)+1 \right| ^{2} \geq \frac{9}{16}$
Ισχύουν $x^{2}-x+1\succ 0 \left(1 \right)$ και $x^{2}-x+1\geq \frac{3}{4} \left(2 \right)$
οι (1) και (2) είναι προφανείς
Γ.Σ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 08, 2011 9:11 pm**

Θα αποδείξουμε ότι το ελάχιστο της συνάρτησης $\displaystyle{f(x)=(x^2+1)(x^2-2x+1)}$ είναι το $\displaystyle{\frac{25}{16}.}$

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{f(1-x)=f(x),}$ άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την ευθεία $\displaystyle{x=\frac{1}{2}.}$

Ας θέσουμε λοιπόν, $\displaystyle{x=\frac{y+1}{2}.}$

Είναι $\displaystyle{(x^2+1)(x^2-2x+1)=\left[\frac{(y+1)^2}{4}+1 \right]\left[\frac{(y-1)^2}{4}+1 \right]=\frac{y^4+6y^2+25}{16}\geq \frac{25}{16}}$ και η ελάχιστη τιμή πιάνεται για $\displaystyle{y=0,}$ άρα για $\displaystyle{x=\frac{1}{2}.}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 09, 2011 10:20 pm**

Αν ισχύει f(x)>=1ειναι σωστό να πω f(x)>= 9/16 ?

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 09, 2011 10:24 pm**

miltos έγραψε:Αν ισχύει $\displaystyle{f(x)\geq1}$ ειναι σωστό να πω $\displaystyle{f(x)\geq\frac{9}{16}}$ ?

Προφανώς ναι, διότι $\displaystyle{f(x)\geq1>\frac{9}{16}}$ , απλώς δεν θα ισχύει ποτέ το ίσον στην σχέση $\displaystyle{f(x)\geq\frac{9}{16}}$ .

Υ.Γ. Προσπάθησε να γράφεις με latex τα μαθηματικά .

mathematica.gr

Ανισότητα με Διανύσματα

Ανισότητα με Διανύσματα

Re: Ανισότητα με Διανύσματα

Re: Ανίσωση με Διανύσματα

Re: Ανισότητα με Διανύσματα

Re: Ανισότητα με Διανύσματα

Re: Ανισότητα με Διανύσματα