mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 12, 2009 11:21 pm**

A.Ε. Ι.-5

1)Να αποδειχθεί ότι :
$e \cdot \sqrt[n]{{\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1} {{k + 1}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array} } \right)} }} \geqslant 4,$ για τον τυχόντα μη αρνητικό ακέραιο n .

2)Να αποδειχθεί ότι :
$\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1} {{F_k }}} \geqslant n \cdot e^{\frac{{n + 1 - F_{n + 2} }} {n}} ,$ για τον τυχόντα θετικό ακέραιο n και με
F_n

την ακολουθία των αριθμών Fibonacci .

3) Να αποδειχθεί ότι :
$\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1} {{L_K^2 }} \geqslant n \cdot e^{\frac{{n + 2 - L_n L_{n + 1} }} {n}} ,}$ για τον τυχόντα θετικό ακέραιο n και με
L_n

την ακολουθία των αριθμών Lucas .

S. E. Louridas

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 15, 2009 10:31 am**

Διαπραγματεύσεις:

1)Παρατηρούμε εύκολα ότι για n=0 ισχύει σαν ισότητα. Έστω τώρα n>0.
Θεωρούμε την πολυωνυμική συνάρτηση

$P_n :\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R} \wedge {\rm P}_n \left( x \right) = \left( {x + 1} \right)^n .$ Θεωρούμε μία διαμέριση του διαστήματος [0,1],έστω

$\Delta \equiv \left\{ {\frac{1} {{\rm N}},\frac{2} {{\rm N}},...,\frac{{\rm N}} {{\rm N}} = 1} \right\}.$ Άρα από την πολυωνυμική συνάρτηση

$P_n :\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R} \wedge {\rm P}_n \left( x \right) = \left( {x + 1} \right)^n \Rightarrow {\rm P}_n \left( {\frac{i} {{\rm N}}} \right) = \left( {\frac{i} {{\rm N}} + 1} \right)^n ,i = 1,2,...,{\rm N}.$ , την ανισότητα Αριθμητικού-Γεωμετρικού Μέσου (AM-GM) και με βάση την ‘ισοδυναμία’ των συμβολισμών

$e^{\rm A} ,\exp {\rm A}$ (χρησιμοποιείται συνήθως όταν το Α δεν είναι σε απλή μορφή) οδηγούμαστε στην σχέση :

$\left[ {\prod\limits_{i = 1}^{\rm N} {\left( {1 + \frac{i} {{\rm N}}} \right)} ^n } \right]^{\frac{1} {{\rm N}}} = \exp \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^{\rm N} {\frac{1} {{\rm N}}\ln \left( {1 + \frac{i} {{\rm N}}} \right)^n } } \right\} < \sum\limits_{i = 1}^{\rm N} {\frac{1} {{\rm N}}} \left( {1 + \frac{i} {{\rm N}}} \right)^n \Rightarrow$

$\exp \left\{ {\int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)^n dx} } \right\} < \int\limits_0^1 {\left( {1 + x} \right)^n dx} = \int\limits_0^1 {\left[ {\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array} } \right)} x^k } \right]dx}$ (ας θυμηθούμε πώς βρίσκουμε το όριο ακολουθίας με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος).Άρα:

$e^{n\left( {2\ln 2 - 1} \right)} < \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1} {{k + 1}}\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array} } \right)} \Rightarrow e^{\ln \left( {\frac{4} {e}} \right)^n } < \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1} {{k + 1}}\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array} } \right)} ........$

2) Γνωρίζουμε ότι ισχύει η σχέση:

$e^x \geqslant x + 1,x \in \mathbb{R}....\left( * \right).$ Γνωρίζουμε επίσης ότι από την ακολουθία των αριθμών Fibonacci παίρνουμε:

$\sum\limits_{k = 1}^n {F_k } = F_{k + 2} - 1....\left( { * * } \right).$
Θέτουμε

$x = \frac{1} {n}\sum\limits_{k = 1}^n {F_k } - 1$ στην (*) λαμβάνοντας

$e^{\frac{1} {n}\sum\limits_{k = 1}^n {F_K } - 1} \geqslant \frac{1} {n}\sum\limits_{k = 1}^n {F_k } \Rightarrow e^{\sum\limits_{k = 1}^n {F_K } - n} \geqslant \left( {\frac{1} {n}\sum\limits_{k = 1}^n {F_k } } \right)^n \geqslant \left( {\frac{1} {n}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1} {{F_k }}} } \right)^{ - n} ,$ από την ανισότητα Αριθμητικού-Αρμονικού Μέσου (ΑΜ-ΗΜ) .Έτσι ισοδύναμα παίρνουμε :

$\left( {\frac{1} {n}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1} {{F_k }}} } \right)^n \cdot e^{\sum\limits_{k = 1}^n {F_k - n} } \mathop = \limits^{\left( { * * } \right)} \left( {\frac{1} {n}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1} {{F_k }}} } \right)^n \cdot e^{F_{n + 2} - \left( {n + 1} \right)} \geqslant 1 \Rightarrow ........$

3) Συνδυάζοντας τα δεδομένα:
Ότι από την ακολουθία των αριθμών Lucas,έχουμε την σχέση

$\sum\limits_{k = 1}^n {L_k^2 } = L_K L_K - 2$ και την ισχύ της

$e^x \geqslant x + 1,x \in \mathbb{R}$ και θέτοντας στην θέση του x της δεύτερης την

$\frac{1} {n}\sum\limits_{k = 1}^n {L_k^2 } - 1,$ έχουμε μετά από κάποιες πράξεις την αλήθεια της σχέσης πού θέλουμε.

S.E.Louridas

mathematica.gr

Fibonacci-Lucas-e

Fibonacci-Lucas-e

Re: Fibonacci-Lucas-e