mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 13, 2009 8:08 pm**

Για κάθε πραγματικό αριθμό χ διαφορετικό του 0 και του 1, ισχύει $\displaystyle{ \displaystyle\ f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right) =\frac{2(1-2x)}{x(1-x)} }$ . Να βρείτε τον τύπο της f

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 13, 2009 10:07 pm**

Θέτουμε στην αρχική όπου

το $\displaystyle\frac{1}{1-x}$ (είναι επιτρεπτή αντικατάσταση σύμφωνη με τους περιορισμούς) και παίρνουμε:

$f\left(\displaystyle\frac{1}{1-x}\right)+f\left(\displaystyle\frac{x}{x-1}\right)=2\displaystyle\frac{1-x^2}{x} \ \ (1)$

Θέτουμε και πάλι όπου

το $\displaystyle\frac{1}{1-x}$ στη σχέση (1)

(είναι και πάλι επιτρεπτή η αντικατάσταση) και παίρνουμε:

$f\left(\displaystyle\frac{x}{x-1}\right)+f(x)=2\displaystyle\frac{x(x-2)}{1-x} \ \ (2)$

Αν από τη σχέση (2)

αφαιρέσουμε τη σχέση (1)

παίρνουμε

$f(x)-f\left(\displaystyle\frac{1}{1-x}\right)=-2\displaystyle\frac{x^2-x+1}{x(1-x)}$

και προσθέτοντάς την με την αρχική παίρνουμε $f(x)=\displaystyle\frac{x+1}{x-1}$ η οποία επαληθεύει την αρχική σχέση άρα είναι και η ζητούμενη συνάρτηση.

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 14, 2009 12:28 am**

mathematica.gr

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου