Σελίδα 1 από 1
Aντικατάσταση και... πράξεις!
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 11, 2011 11:58 am
από Γιώργος Απόκης
Με την προϋπόθεση ότι ορίζονται όλα τα ριζικά, να αποδείξετε ότι ο αριθμός
![\displaystyle{r=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}-\frac{a}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}+\frac{a}{2}}}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/fb1f38361b13962ee9e7757652e9b597.png "\displaystyle{r=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}-\frac{a}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}+\frac{a}{2}}}}")
είναι ρίζα της εξίσωσης
Re: Aντικατάσταση και... πράξεις!
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 11, 2011 12:50 pm
από pito
Καλημέρα Γιώργο
Είναι
![r^{3}+br+a=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}-\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}-3\sqrt[3]{(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2})(\sqrt{\frac{a^{2}}{24}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})^{2}}+3\sqrt[3]{(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})(\sqrt{\frac{a^{2}}{24}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2})^{2}}+b(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{24}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2}})](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/fa5431709379807094079b6fc96c993a.png "r^{3}+br+a=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}-\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}-3\sqrt[3]{(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2})(\sqrt{\frac{a^{2}}{24}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})^{2}}+3\sqrt[3]{(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})(\sqrt{\frac{a^{2}}{24}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2})^{2}}+b(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{24}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2}})")
=
![3\sqrt[3]{\frac{b^{3}}{27}(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2}})-3\sqrt[3]{\frac{b^{3}}{27}(\sqrt{\frac{a^{2}}{24}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}})+b(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}})-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2}})=b(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}})-b(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}})=0](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9b2af308ff7b54f71c9d4937b70179a8.png "3\sqrt[3]{\frac{b^{3}}{27}(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2}})-3\sqrt[3]{\frac{b^{3}}{27}(\sqrt{\frac{a^{2}}{24}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}})+b(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}})-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2}})=b(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}})-b(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}})=0")
και έτσι το
είναι ρίζα της δοσμένης εξίσωσης ( παραπάνω έγινε
![(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})^{2}(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2})=(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2})=(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})[(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}})^{2}-\frac{a^{2}}{4}]=\frac{b^{3}}{27}(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/21bab05ed5609d34cb3ef5654e3395eb.png "(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})^{2}(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2})=(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2})=(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})[(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}})^{2}-\frac{a^{2}}{4}]=\frac{b^{3}}{27}(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})")
)
Μετά από τόση ώρα με latex δικαιούμαι ένα παγωτό!
Re: Aντικατάσταση και... πράξεις!
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 11, 2011 12:54 pm
από Γιώργος Απόκης
Eυχαριστώ για την ενασχόληση και την υπομονή pito!
Re: Aντικατάσταση και... πράξεις!
Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 12, 2011 10:43 pm
από Mihalis_Lambrou
Γιώργος Απόκης έγραψε:Με την προϋπόθεση ότι ορίζονται όλα τα ριζικά, να αποδείξετε ότι ο αριθμός
είναι ρίζα της εξίσωσης
Για όφελος των μαθητών μας ας δώσω μία σύντομη λύση, για να μην μένουν με την εντύπωση ότι τα Μαθηματικά είναι ανιαρά. Άλλωστε οι λιτές λύσεις πρέπει να είναι
κεντρικό στοιχείο στην διδασκαλία μας.
Θα χρησιμοποιήσω την ταυτότητα
. Εδώ
όπου
![\displaystyle A=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}-\frac{a}{2}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d6e6bc5681b217c23716a1e93ad07539.png "\displaystyle A=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}-\frac{a}{2}}")
και
![\displaystyle B=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}+\frac{a}{2}}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e2a016378808a9003e092845107e540a.png "\displaystyle B=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}+\frac{a}{2}}}")
.
Είναι τετριμμένο ότι
. Επίσης, με διαφορά τετραγώνων είναι απλό να δούμε ότι
![\displaystyle AB= \sqrt[3]{ \left (\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}-\frac{a}{2} \right) \left (\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}+\frac{a}{2} \right) } = \sqrt[3]{\frac{b^3}{27}} } = \frac {b}{3}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/1c48f058ac17387ebd2fe88bc72b3bb4.png "\displaystyle AB= \sqrt[3]{ \left (\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}-\frac{a}{2} \right) \left (\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}+\frac{a}{2} \right) } = \sqrt[3]{\frac{b^3}{27}} } = \frac {b}{3}")
.
Αντικατάσταση στην
δίνει
, από όπου το ζητούμενο.
Φιλικά,
Μιχάλης
Re: Aντικατάσταση και... πράξεις!
Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 12, 2011 10:56 pm
από S.E.Louridas
![\begin{array}{*{20}c}
{\left( {\sqrt[3]{{\sqrt {\frac{{a^2 }}
{4} + \frac{{b^3 }}
{{27}}} - \frac{a}
{2}}}} \right)^3 + \left( { - \sqrt[3]{{\sqrt {\frac{{a^2 }}
{4} + \frac{{b^3 }}
{{27}}} + \frac{a}
{2}}}} \right)^3 + \left( { - r} \right)^3 = } \\
{3r\left( {\sqrt[3]{{\sqrt {\frac{{a^2 }}
{4} + \frac{{b^3 }}
{{27}}} - \frac{a}
{2}}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{\sqrt {\frac{{a^2 }}
{4} + \frac{{b^3 }}
{{27}}} + \frac{a}
{2}}}} \right) \Rightarrow r^3 + br + a = 0.} \\
\end{array}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/22e403147e353f9d86493b310e894180.png "\begin{array}{*{20}c}
{\left( {\sqrt[3]{{\sqrt {\frac{{a^2 }}
{4} + \frac{{b^3 }}
{{27}}} - \frac{a}
{2}}}} \right)^3 + \left( { - \sqrt[3]{{\sqrt {\frac{{a^2 }}
{4} + \frac{{b^3 }}
{{27}}} + \frac{a}
{2}}}} \right)^3 + \left( { - r} \right)^3 = } \\
{3r\left( {\sqrt[3]{{\sqrt {\frac{{a^2 }}
{4} + \frac{{b^3 }}
{{27}}} - \frac{a}
{2}}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{\sqrt {\frac{{a^2 }}
{4} + \frac{{b^3 }}
{{27}}} + \frac{a}
{2}}}} \right) \Rightarrow r^3 + br + a = 0.} \\
\end{array}")
(*) 
S.E.Louridas
Re: Aντικατάσταση και... πράξεις!
Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 13, 2011 1:41 am
από Γιώργος Απόκης
Ωραιότατες όλες οι λύσεις!
