mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 15, 2011 1:01 pm**

Αν $a,b\in \mathbb R^{*}$ και ισχύουν $\displaystyle{\frac{(b-c)^2}{a}=2-3a$ και $\displaystyle{\frac{(c-a)^2}{b}=2-3b}}$

να δείξετε ότι a=b

ή

.

Μέχρι 19/12/2011

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 17, 2011 10:26 am**

Γιώργος Απόκης έγραψε:Αν $a,b\in \mathbb R^{*}$ και ισχύουν $\displaystyle{\frac{(b-c)^2}{a}=2-3a$ και $\displaystyle{\frac{(c-a)^2}{b}=2-3b}}$

να δείξετε ότι ή .

Μέχρι 19/12/2011

Καλημέρα σας κύριε Γιώργο

Έχουμε : $\displaystyle{\frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{a} = 2 - 3a \Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2} = 2a - 3{a^2} \Leftrightarrow \boxed{{b^2} - 2bc + {c^2} - 2a + 3{a^2} = 0}:\left( 1 \right)}$

Ομοίως $\displaystyle{\frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{b} = 2 - 3b \Leftrightarrow {\left( {c - a} \right)^2} = 2b - 3{b^2} \Leftrightarrow \boxed{{c^2} - 2ca + {a^2} - 2b + 3{b^2} = 0}:\left( 2 \right)}$

Από $\displaystyle{\left( 1 \right) - \left( 2 \right) \Rightarrow {b^2} - 2bc + {c^2} - 2a + 3{a^2} - \left( {{c^2} - 2ca + {a^2} - 2b + 3{b^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{b^2} - 2bc + {c^2} - 2a + 3{a^2} - {c^2} + 2ca - {a^2} + 2b - 3{b^2} = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2{a^2} - 2{b^2} - 2a + 2b + 2ca - 2bc = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{:\left( 2 \right)} {a^2} - {b^2} - a + b + ca - bc = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) - \left( {a - b} \right) + c\left( {a - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b + c - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a - b = 0 \\ \vee \\ a + b + c - 1 = 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \boxed{a = b} \\ \vee \\ \boxed{a + b + c = 1} \\ \end{gathered} \right.}$

Νότης

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 17, 2011 11:09 am**

Πολύ ωραία Νότη!

mathematica.gr

Αποδεικτική - Άλγεβρα Α Λυκείου

Αποδεικτική - Άλγεβρα Α Λυκείου

Re: Αποδεικτική - Άλγεβρα Α Λυκείου

Re: Αποδεικτική - Άλγεβρα Α Λυκείου