mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 25, 2011 9:04 pm**

χρονια πολλά στην οικογένεια του

Σε ένα τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $B=2\Gamma$ και $\alpha =2\gamma$ .Να αποδείξετε οτι $A=90^{0}$ .

(

θέλω αν γίνετε να δώ παραπάνω απο μία λύσεις

)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 25, 2011 9:19 pm**

: 1.png (15.19 KiB) Προβλήθηκε 2360 φορές

ΑΡΣΕΝΟΗ έγραψε:χρονια πολλά στην οικογένεια του

Σε ένα τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $B=2\Gamma$ και $\alpha =2\gamma$ .Να αποδείξετε οτι $A=90^{0}$ .

( θέλω αν γίνετε να δώ παραπάνω απο μία λύσεις )

Έστω $\displaystyle{ {\rm B}{\rm E} }$ η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{ \hat B \Rightarrow \boxed{\widehat{CBE}} = \widehat{EBA} = \frac{{\hat B}} {2}\boxed{ = \hat C} \Rightarrow \vartriangle BEC }$ ισοσκελές και αν $\displaystyle{ M }$

είναι το μέσο της $\displaystyle{ BC }$ η διάμεσός του $\displaystyle{ EM }$ θα είναι και ύψος του δηλαδή $\displaystyle{ \boxed{\widehat{EMB} = 90^0 }:\left( 1 \right) }$

Είναι $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \vartriangle ABE \hfill \\ \vartriangle MBE \hfill \\ \end{gathered} \right\}:\left\{ \begin{gathered} BE = BE \\ \widehat{EBA} = \widehat{EBM} = \frac{{\hat B}} {2} \\ BA = c = \frac{a} {2} = BM \\ \end{gathered} \right.\quad \mathop \Rightarrow \limits^{\Pi - \Gamma = \Pi } \vartriangle ABE = \vartriangle MBE \Rightarrow \boxed{\hat {\rm A} = \widehat{{\rm E}{\rm M}{\rm B}} = 90^0 } }$

Στάθης

Υ.Σ. Τη λύση αφιερώνω με αγάπη στην καταπληκτική μαθήτρια (πατριώτισσα) ΑΡΣΕΝΟΗ μαζί με τα ΧΡΟΝΙΑ μου ΠΟΛΛΑ

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 25, 2011 9:26 pm**

Κύριε Στάθη δυστυχώς με προλάβατε . Αυτή ακριβώς ήταν η λύση μου , θα προσπαθήσω να βρω μία άλλη

Χρόνια Πολλά

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 25, 2011 9:55 pm**

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Έστω $\displaystyle{ {\rm B}{\rm E} }$ η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{ \hat B \Rightarrow \boxed{\widehat{CBE}} = \widehat{EBA} = \frac{{\hat B}} {2}\boxed{ = \hat C} \Rightarrow \vartriangle BEC }$ ισοσκελές και αν $\displaystyle{ M }$

είναι το μέσο της $\displaystyle{ BC }$ η διάμεσός του $\displaystyle{ EM }$ θα είναι και ύψος του δηλαδή $\displaystyle{ \boxed{\widehat{EMB} = 90^0 }:\left( 1 \right) }$

Είναι $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \vartriangle ABE \hfill \\ \vartriangle MBE \hfill \\ \end{gathered} \right\}:\left\{ \begin{gathered} BE = BE \\ \widehat{EBA} = \widehat{EBM} = \frac{{\hat B}} {2} \\ BA = c = \frac{a} {2} = BM \\ \end{gathered} \right.\quad \mathop \Rightarrow \limits^{\Pi - \Gamma = \Pi } \vartriangle ABE = \vartriangle MBE \Rightarrow \boxed{\hat {\rm A} = \widehat{{\rm E}{\rm M}{\rm B}} = 90^0 } }$

Στάθης

Υ.Σ. Τη λύση αφιερώνω με αγάπη στην καταπληκτική μαθήτρια (πατριώτισσα) ΑΡΣΕΝΟΗ μαζί με τα ΧΡΟΝΙΑ μου ΠΟΛΛΑ

Κ.Στάθη σας ευχαριστώ για την πολύ ωραία και αναλυτική απάντηση, αλλα και για την αφιέρωση

....

Καλές γιορτές και πάλι!

Με εκτίμηση
Αρσενόη

( μας είπε ο κ.Δημήτρης οτι θα έρθετε να μας κάνετε μάθημα μετά τις γιορτές.Θα χαρούμε πολύ μόλις γίνει πραγματικότητα αυτό

)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 25, 2011 11:49 pm**

: τρίγωνο001.png (18.58 KiB) Προβλήθηκε 2283 φορές

Στο τρίγωνο ABM

παρατηρούμε πως $2\chi +2\theta =180^{0} =180^{0}\Rightarrow 2(\theta+\chi ) =180\Rightarrow \theta +\chi =90$

Επίσης , φέρνοντας το ύψος

, παρατηρούμε στο τετράπλευρο $ZME\Gamma$ αν φέρουμε την διαγώνιο $Z\Gamma$ τότε η $\theta$ είναι είναι εξωτερική άρα $\theta =45+\frac{\chi }{2}\Rightarrow 2\theta =90+\chi$ .
Έτσι αν αντικαταστήσουμε στη παραπάνω σχέση $2\chi +2\theta =180^{0}$ το $2\theta$ τότε έχουμε $2\chi +90+\chi =180\Rightarrow 3x=90\Rightarrow x=30$
Άρα $B+\Gamma+A=180\Rightarrow 2x+x+A\Rightarrow 60+30+A=180\Rightarrow A=90$

Y.Γ Ευχαριστώ την Αρσενόη για την βοήθεια της με το σχήμα , επίσης συνέχισα την σχέση $2\chi +2\theta =180^{0} =180^{0}\Rightarrow 2(\theta+\chi ) =180\Rightarrow \theta +\chi =90$ ,για να δικαιολογήσω ότι η γωνία

είναι $90^{0}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 25, 2011 11:59 pm**

Ας συμπληρώσω ένα ερώτημα στην όμορφη λύση του Στάθη και της Αρσενόης:

Αποδείξτε ότι είναι EC = 2AE

(για τους μαθητές της Β΄ Λυκείου είναι τετριμμένο ερώτημα)

Επίσης επιτρέψτε μου να συμπληρώσω δύο μεθόδους που δίνουν άμεσα λύση στην άσκηση, αλλά τα εργαλεία αυτά θεωρούνται άχρηστα για τους μαθητές μας από τους διαμορφωτές των Αναλυτικών Προγραμμάτων και τα έχουν εξορίσει από την ύλη του Λυκείου.
Προτρέπω τους μαθητές μας που ενδιαφέρονται και αγαπούν τα Μαθηματικά να τα γνωρίσουν!

ΛΥΣΗ 1η (Με ύλη παλαιάς Β΄ Λυκείου)

: 25-12-2011 Γεωμετρία.jpg (8.63 KiB) Προβλήθηκε 2270 φορές

Από Ν. Ημιτόνων στο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι

$\displaystyle \frac{\beta }{{\eta \mu 2\phi }} = \frac{\gamma }{{\eta \mu \phi }} \Leftrightarrow \frac{\beta }{{2\eta \mu \phi \cdot \sigma \upsilon \nu \phi }} = \frac{\gamma }{{\eta \mu \phi }} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \phi = \frac{\beta }{{2\gamma }} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \Gamma = \frac{\beta }{\alpha }$

Οπότε το $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την $\displaystyle \alpha$

(Εδώ τίθεται ενδιάμεσο ερώτημα προς διαπραγμάτευση:

Αν σε τρίγωνο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ ισχύει $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \Gamma = \frac{\beta }{\alpha }$ τότε $\displaystyle \widehat{\rm A} = 90^\circ$

ΛΥΣΗ 2η (Με ύλη παλαιάς Β΄ Λυκείου)

Από Ν. Ημιτόνων στο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι

$\displaystyle \begin{array}{l} \frac{\alpha }{{\eta \mu \left( {180^\circ - 3\phi } \right)}} = \frac{\gamma }{{\eta \mu \phi }} \Leftrightarrow \frac{{2\gamma }}{{\eta \mu 3\phi }} = \frac{\gamma }{{\eta \mu \phi }} \Leftrightarrow \frac{{2\gamma }}{{3\eta \mu \phi - 4\eta \mu ^3 \phi }} = \frac{\gamma }{{\eta \mu \phi }} \\ \\ \Leftrightarrow \frac{2}{{\eta \mu \phi \left( {3 - 4\eta \mu ^2 \phi } \right)}} = \frac{1}{{\eta \mu \phi }} \Leftrightarrow 3 - 4\eta \mu ^2 \phi = 2 \Leftrightarrow \eta \mu ^2 \phi = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \eta \mu \phi = \frac{1}{2} \\ \end{array}$

αφού $\phi$ οξεία γωνία, οπότε $\phi = 30^\circ \Rightarrow \widehat{\rm A} = 90^\circ$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 26, 2011 12:35 am**

Pellumbi έγραψε:
τρίγωνο001.png

Στο τρίγωνο παρατηρούμε πως $2\chi +2\theta =180^{0} =180^{0}\Rightarrow 2(\theta+\chi ) =180\Rightarrow \theta +\chi =90$

Επίσης , φέρνοντας το ύψος , παρατηρούμε στο τετράπλευρο $ZME\Gamma$ αν φέρουμε την διαγώνιο $Z\Gamma$ τότε η $\theta$ είναι είναι εξωτερική άρα $\theta =45+\frac{\chi }{2}\Rightarrow 2\theta =90+\chi$ .
Έτσι αν αντικαταστήσουμε στη παραπάνω σχέση $2\chi +2\theta =180^{0}$ το $2\theta$ τότε έχουμε $2\chi +90+\chi =180\Rightarrow 3x=90\Rightarrow x=30$
Άρα $B+\Gamma+A=180\Rightarrow 2x+x+A\Rightarrow 60+30+A=180\Rightarrow A=90$

Y.Γ Ευχαριστώ την Αρσενόη για την βοήθεια της με το σχήμα , επίσης συνέχισα την σχέση $2\chi +2\theta =180^{0} =180^{0}\Rightarrow 2(\theta+\chi ) =180\Rightarrow \theta +\chi =90$ ,για να δικαιολογήσω ότι η γωνία είναι $90^{0}$

Γιώργο, έχεις θεωρήσει ότι το ύψος από την κορυφή

είναι και διχοτόμος, που όμως δεν μπορούμε να το θεωρήσουμε και επίσης στο σχήμα σου, υπάρχουν δύο ευθείες κάθετες σε μια άλλη, που αυτό είναι άτοπο.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 26, 2011 12:42 am**

Ναι επειδή δεν είμαι τόσο καλός στα σχήματα το έχασα λίγο εκεί και εγώ εκεί το θεώρησα άτοπο .Πήρα ως ύψος το

και στο ισοσκελές τρίγωνο είναι και διχοτόμος και διάμεσος και έπειτα προέκτυνα το υψος

στο σημειο

για να δημιουργήσω μία ευθεία , και ένα τετράπλευρο .. Επίσης έχω κάνει ένα λάθος η γωνία

δεν είναι $90^{0}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 26, 2011 3:24 pm**

μέσον της

και

(

στην προέκταση της

)

Από τα δεδομένα και την κατασκευή είναι AB=BM=BE

άρα τργ

ορθογώνιο στο

Είναι $\angle 2C= \angle ABC=\angle E+\angle EAB=2\angle E$ -- $\rightarrow \angle C=\angle E$

συνεπώς τργ EAC

ισοσκελές. Επομένως AE=AC

Είναι

$\triangle EAM=CAB$ -- $(EM=BC=2AB , \angle E=\angle C , AE=AC)\rightarrow \angle BAC=\angle MAE =90^0$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 09, 2013 1:17 am**

ΑΡΣΕΝΟΗ έγραψε:χρονια πολλά στην οικογένεια του

Σε ένα τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $B=2\Gamma$ και $\alpha =2\gamma$ .Να αποδείξετε οτι $A=90^{0}$ .

( θέλω αν γίνετε να δώ παραπάνω απο μία λύσεις )

επειδή τα παιδιά δεν πρέπει να τα αφήνουμε παραπονεμένα, αν οι τόσες λύσεις που εδόθησαν παλιότερα της φάνηκαν λίγες

ας κοιτάξει και στις επόμενες παραπομπές τις λύσεις (πιθανότατα κάποιες να επαναλαμβάνονται)

εδώ , εδώ, εδώ , εδώ κι εδώ

Τέλος για όσους θέλουν να βλέπουν ποικιλία λύσεις (χωρίς περιορισμό στα μέσα) ας ρίξουν μια ματιά στην δημοσίευση Λυμένες Ασκήσεις Γεωμετρίας με 7+ τρόπους

mathematica.gr

Α=90...

Α=90...

Re: Α=90...

Re: Α=90...

Re: Α=90...

Re: Α=90...

Re: Α=90...

Re: Α=90...

Re: Α=90...

Re: Α=90...

Re: Α=90...