mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 22, 2009 12:17 pm**

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
$\displaystyle \int_{|z|=2}\frac{dz}{\sqrt{4z^2-8z+3}}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 22, 2009 1:09 pm**

Mancar Camoran έγραψε:Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
$\displaystyle \int_{|z|=2}\frac{dz}{\sqrt{4z^2-8z+3}}$ .

Οι πόλοι του παρονομαστή είναι 1/2 και 3/2, δηλαδή βρίσκονται στο εσωτερικό του
κύκλου ολοκλήρωσης. Άρα το ολοκλήρωμα είναι 2πi(άθροισμα των πόλων) .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 22, 2009 1:16 pm**

Αφού έχει και τις δυο ρίζες στο εσωτερικό του |z|=2

το ολοκλήρωμα είναι ίσο με $lim_{R\longrightarrow \infty}\int_{|z|=R}\frac{dz}{\sqrt{4z^2-8z+3}}$ και άρα είναι ίσο με $\frac{1}{2}\int\frac{dz}{z}=\pi i$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 22, 2009 3:59 pm**

Mancar Camoran έγραψε:Αφού έχει και τις δυο ρίζες στο εσωτερικό του το ολοκλήρωμα είναι ίσο με $lim_{R\longrightarrow \infty}\int_{|z|=R}\frac{dz}{\sqrt{4z^2-8z+3}}$ και άρα είναι ίσο με $\frac{1}{2}\int\frac{dz}{z}=\pi i$ .

Εξαιρετική λύση!! Μέχρι στιγμής για τέτοιου είδους ολοκληρώματα χρειαζόταν να κάνω πολλές πράξεις για να τα βγάλω με τις πιθανότητες λάθους να είναι πολύ μεγάλες. (Έπαιρνα branch cut την ευθεία που ενώνει το 1/2 με το 3/2, μετά όριζα με πολλή προσοχή την συνάρτηση ώστε να είναι συνεχής στο $\mathbb{C} \setminus [1/2,3/2]$ και μετά υπολόγιζα τα ολοκληρώματα μικρών κύκλων γύρω από τα 1/2 και 3/2 καθώς και των δύο ευθειών που ενώνουν τους κύκλους, μια λίγο πάντω από τον άξονα των χ και μια λίγο κάτω.)

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 11, 2017 11:40 pm**

Δεν είναι σωστά αυτά που γράφονται παραπάνω.

Η $f(z)=(4z^{2}-8z+3)^{-\frac{1}{2}}$ ορίζεται σαν ολόμορφη στο

$\mathbb{C}-[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$

Δεν μπορούμε να πάρουμε θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 12, 2017 12:57 am**

Η

έχει υπόλοιπο στο άπειρο $\displaystyle - \frac{1}{2}$ , οπότε το ολοκλήρωμα για αρκετά μεγάλη ακτίνα (ώστε να περικλείει όλο το branch cut [1/2, 3/2]

) είναι όντως $\displaystyle -2 \pi i \times \frac{-1}{2} = \pi i$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 12, 2017 1:26 am**

Η ιδέα του να χρησιμοπoιήσει κανείς το υπόλοιπο στο άπειρο είναι όντως πάρα πολύ ωραία. Ένα παρόμοιο πρόβλημα από το Berkeley Problems in Mathematics:

Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\int_{|z|=2} \sqrt{z^2-1} \, \mathrm{d}z}$ όπου η ρίζα είναι αυτή που ικανοποιεί $\sqrt{2^2-1}>0$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 12, 2017 1:58 am**

Ωmega Man έγραψε:Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
$\displaystyle \int_{|z|=2}\frac{dz}{\sqrt{4z^2-8z+3}}$ .

Το ολοκλήρωμα αυτό δεν είναι καλά ορισμένο.
Συγκεκριμένα θέλουμε το ολοκλήρωμα της f(z)

όπου $f^{2}(z)=\dfrac{1}{4z^{2}-8z+3}$
τέτοιες συναρτήσεις υπάρχουν άπειρες.
Αν περιορισθούμε στις συνεχείς (τότε αποδεικνύεται ότι είναι και ολόμορφες)
αυτές είναι δύο.
Αν η μία είναι f(z)

η άλλη είναι -f(z)

.
Ετσι το ολοκλήρωμα είναι $\pi i$ η $-\pi i$ ανάλογα με ποια θα πάρουμε.
Η συνάρτηση για να καθορισθεί χρειάζεται σε ένα σημείο να ορίσουμε ποια από τις δύο ρίζες παίρνουμε.

mathematica.gr

Ολοκλήρωμα!

Ολοκλήρωμα!

Re: Ολοκλήρωμα!

Re: Ολοκλήρωμα!

Re: Ολοκλήρωμα!

Re: Ολοκλήρωμα!

Re: Ολοκλήρωμα!

Re: Ολοκλήρωμα!

Re: Ολοκλήρωμα!